巧用變式化解疑難*

廣東省廣州市第十六中學(xué)(510080) 程延清

在新課程的教育改革中，以及新高考背景下，解題能力的培養(yǎng)不僅體現(xiàn)在數(shù)學(xué)思維的提升上，從中折射出的多種綜合思維能力，更加契合新課程改革中對(duì)學(xué)生綜合素養(yǎng)的要求.加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)疑難問題處理能力的培養(yǎng)可以有效提升數(shù)學(xué)思維能力，在尋找解題途徑與思路的過程中，也能間接地提升個(gè)體對(duì)事物的綜合處理能力，對(duì)個(gè)人綜合素養(yǎng)的塑造有重要影響和作用.因此，提高數(shù)學(xué)疑難問題的處理能力一方面可以幫助數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，對(duì)個(gè)人綜合能力的發(fā)展亦大有裨益，研究數(shù)學(xué)疑難問題的解題途徑和策略有其必要性和有效性.本文將通過一道高考數(shù)學(xué)模擬題解題途徑和策略的探討，剖析和優(yōu)化數(shù)學(xué)疑難問題的求解策略和方法.

一、疑難問題剖析

問題已知f(x)=e2x-ax2，a∈?，若f(x)在(0,+∞)上存在極大值M，證明

(本題出自2019年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測(cè)試(一)(理科數(shù)學(xué))第21題)

解題思路遇阻原因剖析

函數(shù)的相關(guān)概念較為抽象和難以理解，對(duì)極值點(diǎn)、極值等概念掌握不到位也是解題思路遇阻的原因之一，由于存在概念上的理解性缺失，不能有效地從最基本的概念和方法入手突破解題思維的束縛，對(duì)函數(shù)解題方法的靈活性和函數(shù)思維的復(fù)雜性掌握不夠，影響對(duì)解題思維的方向性把控.從而無(wú)法熟練的運(yùn)用轉(zhuǎn)化化歸和分類討論等數(shù)學(xué)思想方法突破解題思維的限制.

二、回歸基礎(chǔ)，破解難點(diǎn)

如何破解此題的思維難點(diǎn)，突破思維瓶頸是成功解決本題的關(guān)鍵，從數(shù)學(xué)基本概念和基本方法入手，通過題意剖析，明確需加強(qiáng)對(duì)函數(shù)單調(diào)性、極值等基本概念的理解，以及在深刻理解的基礎(chǔ)上，熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值的基本方法.利用轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想方法，通過變式分步突破本題的疑難點(diǎn)，沖破解題思維的限制和束縛.本題的“主問題”是不等式的證明，但如果直接從“主問題”入手，由于極大值M無(wú)法直接解出以及a的不確定性，則難以直接證明不等式成立，思維也必然受阻.鑒于此，我們可以合理的轉(zhuǎn)化本題的“主問題”，把問題的關(guān)注點(diǎn)聚焦在題設(shè)條件上，進(jìn)行變式，把問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的極大值，達(dá)到化難為易的目的.

三、逆向變式，分步施策

關(guān)注函數(shù)相關(guān)基本概念(極大值)和基本方法，通過思考和尋找解題途徑引起認(rèn)知沖突，啟迪思維進(jìn)行合理地轉(zhuǎn)化化歸，掙脫“主問題”的思維束縛，把“主問題”轉(zhuǎn)化為更為單一的“輔問題”.

變式化歸

變式1已知f(x)=e2x-ax2，a∈?，x∈(0,+∞)，求f(x)的極大值M.

思考(1)如何求函數(shù)f(x)=e2x-ax2，a∈?，x∈(0,+∞)的極大值？

(2)函數(shù)f(x)=e2x-ax2，a∈?，x∈(0,+∞)是否存在極大值？

由于參數(shù)a的不確定性，引起對(duì)極大值是否存在的思考，產(chǎn)生分類討論的思維意識(shí)，帶著問題進(jìn)行思考，促使進(jìn)一步的引申和變式.

變式2若函數(shù)f(x)=e2x-ax2在(0,+∞)上存在極大值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

通過逆向思維，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化問題，使得問題更加貼近日常思維，回歸數(shù)學(xué)概念的本真.由于函數(shù)的極值與函數(shù)的單調(diào)性密切相關(guān)，因此極大值的問題本質(zhì)上是要解決函數(shù)的單調(diào)性問題，從而把問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的單調(diào)性問題，重新設(shè)計(jì)變式，由難入易，體現(xiàn)數(shù)學(xué)化歸思想的本質(zhì).

變式3若函數(shù)f(x)=e2x-ax2在(0,+∞)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

將“主問題”轉(zhuǎn)化為熟悉的“輔問題”，進(jìn)一步降低題目的難度，讓題目變得更加熟悉，從而降低解題的難度.

通過對(duì)變式3的解答，容易得出a≤2e，結(jié)合函數(shù)取得極值的充要條件，可以大膽猜測(cè)當(dāng)a＞2e時(shí)，函數(shù)f(x)=e2x-ax2在(0,+∞)上存在極大值.不妨取a=e2加以驗(yàn)證.

變式4求證：函數(shù)f(x)=e2x-e2x2在(0,+∞)上存在極大值.

將參數(shù)a的不確定性確定化，使問題進(jìn)一步回歸到極值的基本概念以及求極值的基本方法上來.通過變式分析，回歸基礎(chǔ)，思考最初問題的解決方案，理順解題思路.

最后，引領(lǐng)解題思維，從最基礎(chǔ)和最熟悉的題型入手，反向?qū)で蠼忸}途徑，從而突破疑難題的思維痛點(diǎn)和難點(diǎn)，通過轉(zhuǎn)化化歸將問題落點(diǎn)在基礎(chǔ)題型與基本方法的理解和掌握上.

四、反向解題，突破難點(diǎn)

變式4求證：函數(shù)f(x)=e2x-e2x2在(0,+∞)上存在極大值.

證明f′(x)=2e2x-2e2x，f′′(x)=4e2x-2e2，f′(x)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且所以存在使得f′(x1)=0.當(dāng)x∈(0,x1)時(shí)，f′(x)＞0，當(dāng)時(shí)，f′(x)＜0，所以f(x)在x=x1處存在極大值.

變式3若函數(shù)f(x)=e2x-ax2在(0,+∞)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解函數(shù)f(x)=e2x-ax2在(0,+∞)上單調(diào)遞增，等價(jià)于f′(x)=2e2x-2ax≥0在(0,+∞)恒成立，等價(jià)于在(0,+∞)恒成立，令易求gmin(x)=2e，故a≤2e.

變式2若函數(shù)f(x)=e2x-ax2在(0,+∞)上存在極大值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解由變式3可知，當(dāng)a≤2e時(shí)，函數(shù)f(x)=e2x-ax2在(0,+∞)上單調(diào)遞增，故當(dāng)a≤2e時(shí)，函數(shù)f(x)=e2x-ax2在(0,+∞)上不存在極大值，當(dāng)a＞2e時(shí)，f′(x)=2e2x-2ax，f′′(x)=4e2x-2a，f′(x)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且所以存在使得f′(x1)=0，且當(dāng)x∈(0,x1)時(shí)，f′(x)＞0，當(dāng)時(shí)，f′(x)＜0，所以f(x)在x=x1處存在極大值，故a＞2e.

變式1已知f(x)=e2x-ax2，a∈?，x∈(0,+∞)，求f(x)的極大值M.

解由變式2可知，存在使得f(x)在x=x1處存在極大值，且極大值

(2019年廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測(cè)試(一)(理科數(shù)學(xué))第21題)已知f(x)=e2x-ax2，a∈?，若f(x)在(0,+∞)上存在極大值M，證明

解由變式1可知，存在使得f(x)在x=x1處存在極大值且f′(x1)=2e2x1-2ax1=0，即有e2x1=ax1.因?yàn)閍＞2e，所以

五、反思引申，強(qiáng)化遷移

透過解題過程的演化滲透轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想方法，理解和掌握轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想內(nèi)核，通過變式破解函數(shù)難題的思維瓶頸，設(shè)計(jì)“主問題”和“輔問題”加深數(shù)學(xué)基本概念的理解和掌握.

本題最初的“主問題”是證明不等式恒成立問題，通過變式引領(lǐng)思維的發(fā)展，把“主問題”一步一步引向求極值以及分類討論求參數(shù)范圍等熟悉的“輔問題”上，從而逐步突破“主問題”的思維難點(diǎn)，化難為易，從熟悉的“輔問題”出發(fā)，抽絲剝繭，思維層次得到提高，變式設(shè)計(jì)層層遞進(jìn)，難度逐級(jí)降低，通過變式引申“輔問題”，回歸數(shù)學(xué)概念和基礎(chǔ)，提高破解難題的思維能力，讓思維的發(fā)展過程看得見.更加真切的明白解題思維獲得的來源，提升問題的轉(zhuǎn)化化歸能力，化繁為簡(jiǎn)，變難為易，體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的本真！