妙用韋達(dá)定理解決圓錐曲線中向量共線問題

湖南省長(zhǎng)沙一中(410005) 趙意揚(yáng)

向量與圓錐曲線結(jié)合的問題，其形式包括單一共線型和混合共線型.解決這類問題的關(guān)鍵是韋達(dá)定理的使用，看似簡(jiǎn)單的題為什么計(jì)算起來(lái)也不那么簡(jiǎn)單呢?下面就來(lái)談一談：韋達(dá)定理可以“這樣”用.

例1已知拋物線C:y2=4x，已知點(diǎn)F1(-1,0)、F2(1,0)，過F1作直線交曲線C于兩個(gè)不同的點(diǎn)P、Q兩點(diǎn)，設(shè)若λ∈[2,3]，求的取值范圍.

解析設(shè)l:x=ty-1，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，聯(lián)立得到y(tǒng)2-4ty+4=0，Δ=16t2-16＞0，則t2＞1，又所以構(gòu)造兩根之和與兩根之積得

(1)2/(2)得則所以

方法總結(jié)1若能得到y(tǒng)1=λy2，則構(gòu)造出兩根之和與兩根之積得到消去y2得到再利用韋達(dá)定理得于是得到若能得到x1=λx2，也同樣處理.

例2已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(-c,0)、F2(c,0)(c＞0)，過點(diǎn)E(3c,0)的直線與橢圓相交與A,B兩點(diǎn)，且F1A//F2B，|F1A|=2|F2B|，求直線AB的斜率.

解析1由橢圓的對(duì)稱性，延長(zhǎng)AF1交橢圓于C，則設(shè)lAC:x=ty-c，A(x1,y1)，C(x2,y2)，聯(lián)立

整理得(3+2t2)y2-4tcy-4c2=0，因?yàn)镕1A//F2B，|F1A|=2|F2B|，所以則有故

即

解析2設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，因?yàn)镕1A//F2B，|F1A|=2|F2B|，所以即或

例3已知拋物線C:y2=4x，過拋物線焦點(diǎn)F的直線交C于A,B兩點(diǎn)，交準(zhǔn)線l于點(diǎn)M，已知求λ1+λ2的值.

解析1設(shè)直線AB的方程為：x=my+1(m0).

設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，又聯(lián)立方程組消去x得：y2-4my-4=0，Δ=(-4m)2+16＞0，故

所以

解析2由已知得λ1·λ2＜0.則：

過點(diǎn)A,B分別作準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為A1，B1，則有：

方法總結(jié)2若則可以用A,B的橫坐標(biāo)x1,x2或縱坐標(biāo)y1,y2來(lái)表示λ1,λ2，當(dāng)λ1,λ2滿足一定的關(guān)系時(shí)，進(jìn)一步用韋達(dá)定理作整體代換.

例4已知雙曲線過點(diǎn)P(0,4)的直線l交雙曲線C于A,B兩點(diǎn)，交x軸于Q點(diǎn)(Q點(diǎn)與C的頂點(diǎn)不重合)，當(dāng)且時(shí)，求Q點(diǎn)的坐標(biāo).

解析1由題意知直線l的斜率k存在且不等于零.設(shè)l的方程：y=kx+4，A(x1,y1)，B(x2,y2)，則因?yàn)樗驭?所以-4=λ1y1=λ2y2，所以所以即3(y1+y2)=2y1y2，將y=kx+4代入得因?yàn)?-k20，否則l與漸近線平行.所以y1+y2=所以所以k=±2，所以Q(±2,0).

圖1

解析2由題意知直線l得斜率k存在且不等于零，設(shè)l的方程：y=kx+4，A(x1,y1)，B(x2,y2)，則因?yàn)樗运酝砑?/p>

解析3由題意知直線l的斜率k存在且不等于零.設(shè)l的方程：y=kx+4，A(x1,y1)，B(x2,y2)，則因?yàn)樗运?/p>

因?yàn)锳(x1,y1)在雙曲線C上，所以1=0，所以所以同理有：若16-k2=0，則直線l過頂點(diǎn)，不合題意所以16-k20.所以λ1,λ2是二次方程的兩根.所以所以k2=4，此時(shí)Δ＞0，所以k=±2，所以所求Q的坐標(biāo)為(±2,0).

解析4由題意知直線l的斜率k存在且不等于零.設(shè)l的方程y=kx+4，A(x1,y1)，B(x2,y2)，則因?yàn)樗訯分的比為λ1.由向量公式得

下同解法三.

例5已知過拋物線y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)，斜率為的直線交拋物線于A(x1,y2)，B(x2,y2)(x1＜x2)兩點(diǎn)，且|AB|=9.

(1)求該拋物線的方程;

解析(1)直線AB的方程是與y2=2px聯(lián)立，從而有4x2-5px+p2=0，所以由拋物線定義得|AB|=x1+x2+p=9，所以p=4，拋物線方程為y2=8x.

(2)由p=4，4x2-5px+p2=0化簡(jiǎn)得x2-5x+4=0，從而從而設(shè)即即(2λ-1)2=4λ+1，解得λ=0或λ=2.

方法總結(jié)3直線與圓錐曲線相交于A,B兩點(diǎn)，若點(diǎn)M滿足用A,B的坐標(biāo)來(lái)表示M，如果M在曲線上，則將M的坐標(biāo)代入曲線方程，如果M沒有在曲線上，則必須將M的坐標(biāo)表達(dá)式構(gòu)造成曲線方程的形式進(jìn)行處理.

例6設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足其中M、N 是橢圓上的點(diǎn)，直線OM與ON的斜率之積為求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡.

解析設(shè)P(x,y)，M(x1,y1)，N(x2,y2)，則由得(x,y)=(x1,y1)+2(x2,y2)=(x1+2x2,y1+2y2)，即x=x1+2x2，y=y1+2y2.因?yàn)辄c(diǎn)M、N在橢圓x2+2y2=4上，所以故

設(shè)kOM,kON分別為直線OM,ON的斜率，由題設(shè)條件知因此x1x2+2y1y2=0，所以x2+2y2=20.

例7已知兩定點(diǎn)滿足條件的點(diǎn)P的軌跡是曲線E，直線y=kx-1與曲線E交于A,B兩點(diǎn)，如果且曲線E上存在點(diǎn)C，使求m的值和△ABC的面積S.

圖2

解析由雙曲線的定義可知，曲線E是以為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，且易知b=1，故曲線E的方程為x2-y2=1(x＜0)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，由題意建立方程組

消去y，得(1-k2)x2+2kx-2=0.又已知直線與雙曲線左支交于兩點(diǎn)A,B，有