對(duì)一個(gè)不等式推廣的糾正和拓展

陜西省岐山縣蔡家坡高級(jí)中學(xué)(722405) 公寬讓

1.問(wèn)題

《數(shù)學(xué)通報(bào)》2018年第5期問(wèn)題2421[1]如下：

已知a,b,c∈?+，且a+b+c=3，求證：

文[2]對(duì)問(wèn)題2421的推廣如下：

(1)設(shè)a1,a2,...,an(n≥3)是非負(fù)實(shí)數(shù)，且滿足則

(2)設(shè)a1,a2,...,an(n≥3)是非負(fù)實(shí)數(shù)，且滿足則

(3)設(shè)a1,a2,...,an(n≥3)是非負(fù)實(shí)數(shù)，且滿足則對(duì)任意正整數(shù)k，有

(4)設(shè)a1,a2,...,an(n≥3)是非負(fù)實(shí)數(shù)，且滿足則對(duì)任意正整數(shù)k，有

筆者發(fā)現(xiàn)，上述(2)、(4)有問(wèn)題.當(dāng)n=3時(shí)，(2)中的不等式為不是問(wèn)題2421;當(dāng)k=1,n=3時(shí)，(4)中的不等式也為不是問(wèn)題2421.可見(jiàn)，文[2]中的(2)、(4)不是問(wèn)題2421的推廣.

2.糾正

經(jīng)筆者探究，對(duì)文[2]中(2)、(4)的錯(cuò)誤分別糾正如下.

定理1設(shè)a1,a2,...,an(n≥3)是非負(fù)實(shí)數(shù)，且滿足則

證明由均值不等式，有

定理2設(shè)a1,a2,...,an(n≥3)是非負(fù)實(shí)數(shù)，且滿足則對(duì)任意正整數(shù)k，有

證明由均值不等式，對(duì)j=1,2,...,n有

3.拓展

文[2]及上面的研究只是對(duì)問(wèn)題2421按其形式(根指數(shù)為大于等于4的偶數(shù))作了推廣，其實(shí)，問(wèn)題2421還可以拓展到更一般的情形.

(1)問(wèn)題2421的拓展

定理3設(shè)a,b,c∈?+，且滿足a+b+c=3，則對(duì)任意正整數(shù)k，有

證明由均值不等式有，

(2)問(wèn)題2421拓展的推廣

定理4設(shè)a1,a2,...,an(n≥3)是非負(fù)實(shí)數(shù)，且滿足則對(duì)任意正整數(shù)k，有

證明由均值不等式，有