均值

700) 劉海云均值換元法是指借助于幾個(gè)值的平均值進(jìn)行換元的方法,如若a1+a2+...+an=m(n∈N,n≥2),則可設(shè)其中λ1+λ2+...+λn= 0,這就是均值換元. 應(yīng)用均值換元法解題,可以降低解題難度,簡(jiǎn)化解題過(guò)程,達(dá)到事半功倍的效果. 本文對(duì)均值換元法解題進(jìn)行研究,希望能為讀者提高解題能力提供幫助.1. 均值換元法解題的切入點(diǎn)研究利用均值換元法解題的關(guān)鍵是找到類(lèi)似a+b=m的信息,然后進(jìn)行均值換元,從哪里尋找可以進(jìn)行均值換元的核心信息? 可

金毅對(duì)數(shù)均值不等式 ab < a - b ln a - ln b < a + b 2 看似較為復(fù)雜，但在解答函數(shù)與不等式問(wèn)題時(shí)卻能發(fā)揮較大的作用.本文主要探討一下對(duì)數(shù)均值不等式及其應(yīng)用技巧.一、對(duì)數(shù)均值不等式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及證明若 a > 0，b > 0，a ≠ b ，則 ab < a - b ln a - ln b < a + b 2 ，該式稱(chēng)為對(duì)數(shù)均值不等式，其中 ab 為 a、b 的幾何平均數(shù)， a - b ln a - ln b 為 a、b 的對(duì)數(shù)平均數(shù)

權(quán)發(fā)祥均值不等式是數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，在許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決中，均值不等式起著舉足輕重的作用.作為不等式理論的一塊基石，它在求最值、比較大小、不等式證明等方面應(yīng)用廣泛。數(shù)學(xué)是一門(mén)具有嚴(yán)密邏輯的學(xué)科.我們?cè)诮忸}時(shí)需要具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度，仔細(xì)審題，充分挖掘出題目的內(nèi)涵，只有這樣.才能正確作答.在應(yīng)用均值不等式解決問(wèn)題時(shí)，我們要特別注意均值不等式等號(hào)成立的條件以及應(yīng)用均值不等式的前提條件，從而避免出現(xiàn)錯(cuò)誤.

稱(chēng)處理一）單果重均值為87.23 g，增施有機(jī)肥處理（以下稱(chēng)處理二～處理七）獼猴桃單果重均值范圍為90.63～115.52 g，均值為98.74 g，其中處理四單果重均值最大為115.52 g，較處理一增長(zhǎng)32.43%，處理五單果重均值最小為90.63 g，較處理一3.90%；處理一獼猴桃縱徑均值為4.72 cm，處理二～處理七獼猴桃縱徑均值范圍為4.74～5.92 cm，均值為5.12 cm，其中處理四縱徑均值范圍最大為5.92 cm，較處理一增長(zhǎng)25.

幾何凸函數(shù)的積分均值、區(qū)間[a,b]端點(diǎn)幾何均值的像和區(qū)間[a,b]端點(diǎn)像的幾何均值的Hermite-Hadamard類(lèi)不等式.1 預(yù)備知識(shí)首先給出經(jīng)典凸函數(shù)的概念：定義1[10-11]設(shè)f:I?R=(-∞,∞)→R，如果f滿(mǎn)足f(tx+(1-t)y)≤tf(x)+(1-t)f(y)，其中x,y∈I,t∈[0,1]，則稱(chēng)f(x)是I上的凸函數(shù).下面的雙不等式就是著名的Hermite-Hadamard積分不等式.定理1[12-13]設(shè)f:I∈R→R是一個(gè)定義

只需證：又由二元均值不等式得a2b2+c2a2≥2a2bc,b2c2+a2b2≥2b2ca,c2a2+b2c2≥2c2ab,以上三個(gè)不等式相加且兩邊同除以2得a2b2+b2c2+c2a2≥a2bc+b2ca+c2ab.而2λ+13>0,所以(2λ+13)(a2b2+b2c2+c2a2)≥(2λ+13)(a2bc+b2ca+c2ab)③.②+③+④即得①式，從而原不等式得證.于是要證原不等式成立，只需證：由3元均值不等式得2a6+b6≥3a4b2,a6+2b

對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式提出了均值不等式的一個(gè)新證明。關(guān)鍵詞：算數(shù)平均數(shù);幾何平均數(shù)一、引言均值不等式，又名平均值不等式、平均不等式，是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要公式。靈活的運(yùn)用均值不等式，可以使得許多看似復(fù)雜的問(wèn)題迎刃而解。均值不等式的具體內(nèi)容為：調(diào)和平均數(shù)不超過(guò)幾何平均數(shù)，幾何平均數(shù)不超過(guò)算術(shù)平均數(shù)，算術(shù)平均數(shù)不超過(guò)平方平均數(shù)，簡(jiǎn)記為“調(diào)幾算方”。均值不等式也可以看成是“對(duì)于若干個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，它們的算術(shù)平均不小于幾何平均”的推論。迄今為止，諸多學(xué)者已經(jīng)給出了許多關(guān)于均值不等式的

的證明中多次應(yīng)用均值不等式,構(gòu)思奇妙,但不易推廣.下面用切比雪夫不等式和均值不等式對(duì)問(wèn)題2555 給出另證.證明a,b,c ＞0,且abc≥1,不妨設(shè)a≥b≥c ＞0,由切比雪夫不等式和均值不等式,令= 7, 得r=＜7.即同理,求和, 得(∑表示對(duì)a,b,c循環(huán)求和),故再由切比雪夫不等式和均值不等式,所以a2+b2+c2≥即=1,故不等式(2)與不等式(3)相減,即得不等式(1)成立.2 問(wèn)題2555 的推廣2.1 問(wèn)題2555 按項(xiàng)數(shù)推廣定理1 已知

，2，…，n)，均值不等式為即：幾何平均值≤算術(shù)平均值，其中等式成立當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an.對(duì)于均值不等式(1)的證明、推廣與應(yīng)用，數(shù)學(xué)工作者進(jìn)行了不懈的探究，如文[1～5]等.運(yùn)用均值不等式求解數(shù)學(xué)問(wèn)題的關(guān)鍵是需要注意其中的條件.只有深刻領(lǐng)會(huì)并掌握均值不等式的應(yīng)用范圍，才能發(fā)揮它獨(dú)特的功能，這其中常常需要根據(jù)問(wèn)題的隱含條件巧妙地運(yùn)用組合、分拆、湊配等變形技巧，將其轉(zhuǎn)化為均值不等式.本文結(jié)合研究生入學(xué)考試中的一些數(shù)列試題，給出部分應(yīng)用實(shí)例.例1數(shù)列{

64)1 引 言均值是統(tǒng)計(jì)學(xué)中最常用的統(tǒng)計(jì)量，常被用來(lái)描述統(tǒng)計(jì)對(duì)象總體的一般水平或分布的集中趨勢(shì)，柯西[1]首先給出了均值函數(shù)的定義：設(shè)區(qū)間I?R，若對(duì)任意x,y∈I，函數(shù)M:I2→R滿(mǎn)足min(x,y)≤M(x,y)≤max(x,y),則稱(chēng)M是I2上的均值函數(shù). 若上述不等式等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)x=y，則稱(chēng)M是I2上的嚴(yán)格均值函數(shù).顯然，均值函數(shù)具有自反性，即對(duì)任意x∈I，M(x,x)=x.設(shè)K,M,N:I2→I都是均值函數(shù)，若對(duì)任意x,y∈I,M(x,y)

730060)均值不等式是高中數(shù)學(xué)中求解、求最值的重要工具，也是歷年的高考熱點(diǎn)，許多問(wèn)題均值不等式的條件非常明顯，但是也有很多問(wèn)題，均值不等式的屬性隱匿得比較深，需要我們拓展思路，巧妙轉(zhuǎn)化，挖掘均值不等式的屬性巧解一些問(wèn)題.一、重要不等式?a,b∈R,有a2+b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立；二、應(yīng)用舉例例1 設(shè)x,y為正數(shù)，且x4+4y4+1=2x2y2+2y2+x2，求x,y的值.例6(2015北京卷)設(shè){an}是等差數(shù)列，則下列結(jié)論正確的是

務(wù)之一。其中，k均值算法應(yīng)用最為廣泛，但其全局搜索能力較弱，隨機(jī)性使得聚類(lèi)結(jié)果可能陷入局部最優(yōu)，對(duì)簇密度不均的數(shù)據(jù)集處理效果和并行處理能力較差。針對(duì)k均值算法的不足，許多專(zhuān)家學(xué)者進(jìn)行研究。其中，文獻(xiàn)[2]對(duì)k均值算法在迭代計(jì)算過(guò)程中易產(chǎn)生內(nèi)存泄漏做了進(jìn)一步的優(yōu)化。文獻(xiàn)[3]采用多次隨機(jī)采樣的方式確定算法的k值，為聚類(lèi)中心點(diǎn)個(gè)數(shù)選擇提供了較好的解決方案。文獻(xiàn)[4]研究了一種比例均衡的聚類(lèi)算法，有效地提高類(lèi)簇的聚類(lèi)質(zhì)量。為了克服原始k均值算法在Hadoop平臺(tái)

σ2,樣2 切尾均值的漸近分布3 平尾均值的漸近分布4 切尾均值與平尾均值的的極限狀態(tài)的討論4.1 當(dāng)k→+∞時(shí)的切尾均值與平尾均值的極限狀態(tài)即此時(shí)切尾均值的漸近正態(tài)分布的方差就是普通樣本均值的方差。同理可以有平尾均值在切尾幾乎為0的極限狀態(tài)時(shí),此時(shí)幾乎沒(méi)有切尾,即幾乎沒(méi)有以切尾處臨近值代替求解平尾均值的情況發(fā)生,此時(shí)平尾即成為了普通的樣本均值,則其漸近正態(tài)分布的方差就是普通樣本均值的方差。4.2 在k→0時(shí)平尾均值的極限狀態(tài)5 舉例分析6 小結(jié)由上述可知

趙盼盼一、主要的均值不等式根據(jù)均值不等式，當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí)，它們的積有最大值；當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定值時(shí)，它們的和有最小值。在應(yīng)用均值不等式時(shí)，要注意不等式成立的條件：“一正、二定、三相等”，三個(gè)條件缺一不可。二、方法1﹒配湊∴當(dāng)x=1 時(shí)，f（x）的最大值是1?？偨Y(jié)：在利用均值不等式時(shí)，一定要注意不等式成立的條件“一正、二定、三相等”，三個(gè)條件缺一不可。在求最值時(shí)，常通過(guò)添加常數(shù)或拆項(xiàng)等方式進(jìn)行構(gòu)造，使其和或其乘積為定值。2﹒分離系數(shù)分析：本題中給出的

A,B的加權(quán)算術(shù)均值、加權(quán)幾何均值和Heinz均值分別為2 問(wèn)題的提出T Furuta等[1]證明了A#vB≤AvB.(1)由(1)式可得Heinz均值不等式(2)M Tominaga[2]證明了逆向算子Young不等式：設(shè)A,B∈B(H)，0AvB≤S(h)A#vB，(3)(4)(5)對(duì)于A,B，當(dāng)0≤p≤1時(shí)，A≥B?Ap≥Bp；(6)而當(dāng)p>1時(shí)，(6)式不一定成立.更多關(guān)于Young不等式和Heinz不等式可參看文獻(xiàn)[4-8].筆者將研究逆向算子H

653100)均值不等式和柯西不等式是兩個(gè)著名的不等式，它們?cè)诮鉀Q有關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，各自發(fā)揮了重要的作用.但是，對(duì)一些多元函數(shù)最值問(wèn)題，特別是一些比較復(fù)雜的多元函數(shù)的最值問(wèn)題，如果想到使它倆能夠攜手同行應(yīng)對(duì)，便可發(fā)揮更大的威力.本文舉例說(shuō)明，如何讓均值不等式與柯西不等式攜手同行探求多元函數(shù)的最值問(wèn)題時(shí)產(chǎn)生更大的效果.=(1+4)2=25，①≤(x2+y2)[(1-y2)+(1-x2)](運(yùn)用二維柯西不等式)由均值不等式，得當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z時(shí)，上式等

王昱行一、利用均值不等式證明不等式利用均值不等式證明不等式時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：2.如果式子不具備均值不等式的特點(diǎn)，那么需要通過(guò)加減項(xiàng)的方法拼湊成可用均值不等式的形式。3.靈活應(yīng)用均值不等式的變形形式，注意均值不等式的變形應(yīng)用。例1 已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1。二、利用均值不等式求最值在利用均值不等式求最值時(shí)，必須同時(shí)滿(mǎn)足以下三個(gè)條件：一證、二定、三相等。即：①x，y都是正數(shù)。②積xy（或和x+y）為常數(shù)（有時(shí)需要通過(guò)“配湊、分拆”湊出定值）。

第二中學(xué) 羅開(kāi)華均值不等式應(yīng)用例析福建省福安市第二中學(xué) 羅開(kāi)華利用均值不等式及推廣求解最值問(wèn)題、不等式證明、實(shí)際問(wèn)題。均值不等式教學(xué)對(duì)優(yōu)化學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)、提升應(yīng)用能力具有重要意義。均值不等式；應(yīng)用與推廣均值不等式作為高中課程的重要知識(shí)，要掌握兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)并會(huì)簡(jiǎn)單的應(yīng)用。應(yīng)用均值不等式求最值問(wèn)題、不等式證明、解決實(shí)際問(wèn)題具有重要作用。同時(shí)，均值不等式的教學(xué)有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí)，對(duì)探索創(chuàng)造、發(fā)揮潛能、開(kāi)發(fā)智力具有重要意義。一

)兩個(gè)正數(shù)的各種均值徐望斌，陳敬華(湖北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北 黃石 435002)給出了兩個(gè)正數(shù)的各種均值的一種新的幾何模型，并由此構(gòu)造了兩個(gè)正數(shù)的各種均值不等關(guān)系的一種證明．再對(duì)均值不等式進(jìn)行了拓展，說(shuō)明其應(yīng)用。兩個(gè)正數(shù)；均值；幾何模型0 引言?xún)蓚€(gè)正數(shù)的各種均值的不等性在數(shù)學(xué)中占有重要的地位，不等式的證明中經(jīng)常用到兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)和平方平均數(shù)之間的關(guān)系，也就是均值不等式[1]。本文通過(guò)對(duì)梯形中位線(xiàn)的性質(zhì)聯(lián)想，給出了這四

562400)均值不等式的應(yīng)用與實(shí)踐趙 秀(興義民族師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，貴州 興義 562400)均值不等式是不等式的一種特殊種類(lèi)，在不等式之中處于核心地位，在解題及現(xiàn)實(shí)生活中有著廣泛的應(yīng)用，也是高考中的一個(gè)重點(diǎn)。通過(guò)分析均值不等式的應(yīng)用與實(shí)踐，對(duì)學(xué)生邏輯思維能力及實(shí)踐能力的培養(yǎng)有重要意義。均值不等式；應(yīng)用；實(shí)踐1 均值不等式及其推廣1.1 均值不等式1.2 均值不等式推廣(推廣到有限個(gè)正數(shù))注意①ai>0,i=1,2,…n；③當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=

進(jìn)行模擬試驗(yàn)，以均值7.66為臨界值，獲得大于臨界值的方案49個(gè)，各變量取值的頻率分布見(jiàn)表7。3　DiagnosisA careful history and examination will typicallyallow the classification of movement disorder and its cause［14］.Information should be carefully collected on different aspec

als，F(xiàn)SI)均值控制圖?？勺兂闃訁^(qū)間(variable sampling intervals，VSI)均值控制圖是對(duì)FSI 均值圖的一種改進(jìn)，它試圖采用可變的抽樣區(qū)間來(lái)減少控制圖報(bào)警所需要的時(shí)間，通過(guò)理論計(jì)算可以證明VSI 均值圖的工作性能優(yōu)于FSI 均值圖［1-2］。FSI 均值圖將μ -3σ 設(shè)置為控制下限(lower control line，LCL)、μ+3σ 設(shè)置為控制上限(upper control line，UCL)、μ 設(shè)置為中心線(xiàn)(c

37400）走出均值不等式求最值的誤區(qū)李培瑩（大同大學(xué)渾源師范分校，山西 大同 037400）均值不等式是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，學(xué)生在應(yīng)用均值不等式時(shí)往往會(huì)忽視均值不等式成立的三個(gè)條件，造成學(xué)生運(yùn)用均值不等式求最值的誤區(qū).均值不等式；最值；誤區(qū)利用均值不等式求函數(shù)最值是高中數(shù)學(xué)非常重要的知識(shí)點(diǎn)，也是考試的熱點(diǎn)問(wèn)題，基本上每份試卷都有這方面的題目，因此特別提醒大家要注意均值不等式的使用條件，不要陷入誤區(qū)．常見(jiàn)的誤區(qū)有如下幾個(gè)方面:誤區(qū)一：忽視正數(shù)條件．誤區(qū)二：

78.Heron均值的一個(gè)嚴(yán)格一參數(shù)均值界宗 誠(chéng)1，褚玉明2(1.杭州師范大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310036；2.湖州師范學(xué)院理學(xué)院，浙江 湖州 313000)一參數(shù)均值；Heron平均；冪均值date：2010-10-25Supported by the Natural Science Foundation of China (11071069) and the Innovation Team Foundation of the Department