走出均值不等式求最值的誤區(qū)

李培瑩

（大同大學(xué)渾源師范分校，山西 大同 037400）

走出均值不等式求最值的誤區(qū)

李培瑩

（大同大學(xué)渾源師范分校，山西 大同 037400）

均值不等式是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，學(xué)生在應(yīng)用均值不等式時(shí)往往會(huì)忽視均值不等式成立的三個(gè)條件，造成學(xué)生運(yùn)用均值不等式求最值的誤區(qū).

均值不等式；最值；誤區(qū)

利用均值不等式求函數(shù)最值是高中數(shù)學(xué)非常重要的知識(shí)點(diǎn)，也是考試的熱點(diǎn)問(wèn)題，基本上每份試卷都有這方面的題目，因此特別提醒大家要注意均值不等式的使用條件，不要陷入誤區(qū)．常見的誤區(qū)有如下幾個(gè)方面:

誤區(qū)一：忽視正數(shù)條件．

誤區(qū)二：忽視等號(hào)成立條件

誤區(qū)三：忽視定值條件

誤區(qū)四：兩次以上使用平均值不等式，忽視等號(hào)能否同時(shí)成立

誤區(qū)五：條件不夠，束手無(wú)策

針對(duì)上面容易出現(xiàn)的誤區(qū)，我在下文中，舉例說(shuō)明容易出現(xiàn)的誤區(qū)和解決方法.希望能更好地應(yīng)用均值不等式.

幾個(gè)重要的均值不等式:

注：①注意運(yùn)用均值不等式求最值時(shí)的條件：一“正”、二“定”、三“等”；

②熟悉一個(gè)重要的不等式鏈：

1 錯(cuò)誤原因分析

1.1 忽視“一正”即a和b兩項(xiàng)都是正數(shù)

錯(cuò)誤原因分析：由得log2x<0，因而構(gòu)成不等式的兩項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，不符合均值不等式的要求，所以不能直接運(yùn)用均值不等式，需要將各項(xiàng)化為正數(shù)才可以使用均值不等式.

小結(jié)：運(yùn)用均值不等式時(shí)必須符合a和b兩項(xiàng)都是正數(shù)，否則就會(huì)出錯(cuò).

1.2 忽視了a=b成立的條件

教師提示：請(qǐng)同學(xué)們思考答案是否正確？錯(cuò)在哪里？

錯(cuò)解原因分析：在解答過(guò)程中沒有驗(yàn)證a=b成立的條件，事實(shí)上方程，x2+2=1，即x2=-1無(wú)解，所以等號(hào)不成立，從而不能直接用均值不等式求解.

小結(jié)：均值不等運(yùn)用式時(shí)必須取到a=b>0時(shí)，才能運(yùn)用均值不等式求最值.

1.3 忽視積或和必須是定值

例3 設(shè)a≥0,b≥0,2a2+b2=2,求的最大值

小結(jié)：均值不等運(yùn)用式時(shí)和或積必須是定值.當(dāng)和一定積取最大值，當(dāng)積一定和取最小值.

2 走出誤區(qū)

2.1 條件不足時(shí)利用函數(shù)的單調(diào)性

2.2 和的定值條件不足時(shí)配系數(shù)

2.3 積的定值條件不足時(shí)配常數(shù)

（1）等號(hào)不成立時(shí)利用三角換元

例8設(shè)實(shí)數(shù)m,n,x,y,滿m2+n2=1，x2+y2=2，則mx+ny的最大值是多少？

但是我們應(yīng)該注意到上式是在當(dāng)且僅當(dāng)m=x,n=y時(shí)才能成立，所以結(jié)論與題設(shè)m2+n2=1，x2+y2=2矛盾.故所求的最大值不是.

（2）形式不一致時(shí)適當(dāng)拆項(xiàng)

歸納總結(jié)：在運(yùn)用均值不等式求函數(shù)最值時(shí)，一定要把握不等式成立的三個(gè)條件，就是一正——各項(xiàng)都是正數(shù)，二定——和或積必須是定值，三相等——不等式各項(xiàng)必須相等時(shí)不等式等號(hào)才能成立.若忽視了三個(gè)條件的任何一個(gè)條件都會(huì)出錯(cuò).所以同學(xué)們?cè)谶\(yùn)用均值定理求解函數(shù)最值時(shí)要注意三個(gè)條件缺一不可.同時(shí)又能靈活的加以運(yùn)用，那么我們就可以避免出現(xiàn)上述的錯(cuò)誤，順利地走出誤區(qū).

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-260X（2014）01-0004-02