淺談均值不等式的應用

吉林師范大學 王昱行

一、利用均值不等式證明不等式

利用均值不等式證明不等式時，應注意以下幾點：

2.如果式子不具備均值不等式的特點，那么需要通過加減項的方法拼湊成可用均值不等式的形式。

3.靈活應用均值不等式的變形形式，注意均值不等式的變形應用。

例1 已知a，b，c∈R+，且a+b+c=1。

二、利用均值不等式求最值

在利用均值不等式求最值時，必須同時滿足以下三個條件：一證、二定、三相等。即：

①x，y都是正數(shù)。

②積xy（或和x+y）為常數(shù)（有時需要通過“配湊、分拆”湊出定值）。

③x與y必須能夠相等（即等號能夠取到）。

特別地，當條件中等號在此不成立時，此時不能運用均值不等式來解題，而是應該應用函數(shù)的單調(diào)性來求最值。

三、利用均值不等式比較實數(shù)大小

1.注意均值不等式成立的前提條件。

2.注意“1”的代換。

3.合理配組，反復應用均值不等式。

本文列舉了常用的有關(guān)均值不等式的三種題型，對于已給定的條件，具體用哪種方法求解，需要首先分析一下給定條件的結(jié)構(gòu)和特點，然后再考慮選用什么方法比較妥當。因此，在解決相關(guān)問題時，要多觀察，多總結(jié)。