一道物理題中向量和為零的數(shù)學問題

河南省實驗中學(450002) 賈玉明

常言道：“數(shù)學物理不分家”.在物理研究中離不開數(shù)學知識，數(shù)學研究中離不開物理背景，兩者相互依存，相互促進.就像偉大的物理學家、數(shù)學家牛頓，在研究物理問題時，創(chuàng)建了很多數(shù)學理論，如微積分、廣義二項式定理等等，尤其是微積分，促進了數(shù)學分析這一分支的產(chǎn)生，并進一步發(fā)展為微分幾何、微分方程等等，而這些數(shù)學理論反過來促進了理論物理學的發(fā)展.

一、問題提出及分析

在物理教學過程中，也常常會遇到一些數(shù)學問題.一次辦公室的物理老師遇到這樣一道問題：

如圖1所示，abcde是半徑為r的圓內(nèi)接正五邊形，在其頂點a,b,c,d處各固定有電荷量為+Q的點電荷，在e處固定有電荷量為-3Q的點電荷，則放置在圓心O處的點電荷-q所受到的靜電力的大小為______，方向為______.

圖1

圖2

如果把e處的點電荷看成是+Q和-4Q的點電荷，那么放置在圓心O處的點電荷-q所受到的靜電力就是a,b,c,d,e處電荷量為+Q的點電荷對點電荷-q的作用力加上e處電荷量為-4Q的點電荷對點電荷-q的作用力.很容易“感覺”到：a,b,c,d,e處電荷量為+Q的點電荷對點電荷-q的作用力之和應該為零，但這怎么來說明呢?物理老師需要一個專業(yè)準確的解釋.筆者經(jīng)過推理計算證明了上述猜想，并且發(fā)現(xiàn)這是一個有趣的數(shù)學問題，可以從多個角度來說明.

二、問題轉述及證明

下面將問題轉述為數(shù)學問題：

設五邊形P1P2P3P4P5是圓O的內(nèi)接正五邊形，證明：

證明如圖2所示，設直線OPi(i=1,2,3,4,5)與正五邊形P1P2P3P4P5的內(nèi)角∠Pi所對的邊交點為Ai，由對稱性可知，Ai為其所在邊的中點，由向量運算法則知以上五個式子兩端同時相加得：即由于共線反向，則其中λ=-cos36°，從而故而1-λ=1+cos36°＞0，所以

三、問題推廣及證明

事實上，上面的結論可以推廣到一般情況，對于圓O的內(nèi)接正n邊形P1P2P3···Pn(n≥3且n∈??)，上述結論都成立，即可得下面的定理：

定理對于圓O的內(nèi)接正n邊形P1P2P3···Pn(n≥3且

按照n=5時的證明方法，當n為奇數(shù)時均可同樣證明定理，當n為偶數(shù)時，設n=2k(k∈??,k≥2)，由正n邊形的性質(zhì)可得：則下面從其他角度給出定理的證明.

角度1：向量的旋轉與共線

證明一由正n邊形的性質(zhì)知，中任意相鄰兩個向量夾角均為將每個向量繞旋轉之后，依次變?yōu)橄蛄?i=1,2,···,n-1)，向量變?yōu)橄蛄康D前后n個向量的和不變，始終為也就是說，旋轉之后仍為而非零向量旋轉且n∈??)，之后得到的向量與原向量不共線，故

評注此法從旋轉前后兩個向量和不變得出此向量和為零向量，構思非常巧妙，較好地體現(xiàn)了想象能力與邏輯推理能力.

角度2：參數(shù)坐標與三角運算

在介紹證明二之前先來看兩個引理：

引理一對?n∈??，有

證明由積化和差公式可得(其中i∈??)，由和差化積公式得則

引理二[1]對?n∈??，有

證明由積化和差公式可得(其中i∈??)，由和差化積公式得則

以上兩個引理在數(shù)學中具有重要作用，尤其是在傅里葉級數(shù)展開相關理論證明中是關鍵的一步(進一步了解可參考文獻[1]第十五章).下面應用這兩個引理給出定理的第二種證明.

證明二設圓O的半徑為r，以O為原點建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼凳沟门cx軸非負半軸夾角為且P1在第一象限，假設圓O的內(nèi)接正n邊形P1P2P3···Pn頂點按逆時針排列，則由圓的參數(shù)方程可知，(i=1,2,···,n)，從而

評注這個角度將問題坐標化，不僅用到圓的參數(shù)方程，還用到三角變換技巧—和差化積與積化和差，將幾何問題、解析方法、三角變換有機結合起來.

角度3：復數(shù)乘積及其意義[2]

由于向量與復數(shù)之間可建立一一對應關系，因此，也可以從復數(shù)的角度來考慮.復數(shù)z乘以一個復數(shù)，表示將z進行伸縮和旋轉，從這個角度，可以與角度1相呼應，并且從具體運算得出結果，下面用復數(shù)理論給出證明三.

證明三假設向量對應的復數(shù)為zk(k=1,2,···,n)，則zk旋轉后即為zk+1(k=1,2,···,n-1)，從而zk+1=zk·1)，設由棣莫弗公式得zn=cos2π+isin2π=1，從而可得：對應地，

評注向量、復數(shù)、三角函數(shù)之間存在著緊密聯(lián)系，本文中定理的不同證明方法正體現(xiàn)了它們之間相互聯(lián)系，角度3將向量的運算轉化為復數(shù)的運算，借助棣莫弗公式大大簡化了角度2中的運算過程，復數(shù)乘積的幾何意義及棣莫弗公式可參考文獻[2]第12頁至13頁.