2019年全國(guó)聯(lián)賽福建省預(yù)賽一道解析幾何試題的推廣*

廣東省華南師范大學(xué)附屬中學(xué)汕尾學(xué)校(516600) 劉光明

解析幾何問(wèn)題承載著邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)素養(yǎng)，重視類比思想在圓錐曲線中的運(yùn)用有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和激發(fā)學(xué)生探索問(wèn)題的欲望.本文對(duì)2019年全國(guó)聯(lián)賽福建省預(yù)賽第12題解析幾何試題進(jìn)行探究，發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線中的一組優(yōu)美性質(zhì)，與讀者分享.

1.試題呈現(xiàn)與解答

試題(2019年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建賽區(qū)預(yù)賽試題卷第12題)已知F為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為直線x=4上動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作橢圓C的切線PA、PB，A、B為切點(diǎn).

(1)求證：A、F、B三點(diǎn)共線;

(2)求△PAB面積的最小值.

圖1

試題分析(1)證明：如圖1，由題意F(1,0)，設(shè)P(4,t)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，則切線PA方程為切線PB方程為又切線PA、PB都經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，則因此直線AB方程為即3(x-1)+yt=0，故直線AB恒過(guò)定點(diǎn)F(1,0)，于是A、F、B三點(diǎn)共線.

(2)由消去x可得(t2+12)y2-6ty-27=0，則

故

因此函數(shù)f(λ)在區(qū)間[3,+∞)上單調(diào)遞增，于是fmin(λ)=故△PAB面積最小值為

點(diǎn)評(píng)該題以考查解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)、思想方法和能力素質(zhì)綜合立意，以三點(diǎn)共線、三角形面積為切入點(diǎn)，考查定點(diǎn)問(wèn)題和弦長(zhǎng)問(wèn)題.在平和中見(jiàn)新奇，沉穩(wěn)中見(jiàn)活力，較好地考查了圓錐曲線相關(guān)知識(shí)，又具有很好的拓展性與延伸性.

2.橫縱探究，揭示本質(zhì)

通過(guò)不同角度、不同層次的探索、聯(lián)想、類比發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題，充分挖掘解析幾何試題，才能揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，進(jìn)一步培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，提升解析幾何的魅力.經(jīng)過(guò)對(duì)試題中定直線與定點(diǎn)之間的特殊位置關(guān)系，自然讓人聯(lián)想到橢圓中的一般情況，經(jīng)過(guò)幾何畫(huà)板直觀演示(如圖2示)和嚴(yán)謹(jǐn)代數(shù)推理得到結(jié)論1.

結(jié)論1已知橢圓Γ:點(diǎn)P為直線x=t(|t|＞a)上動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作橢圓Γ的切線PA、PB，A、B為切點(diǎn)，則直線AB恒過(guò)點(diǎn)

證明設(shè)P(t,m)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，則切線PA方程為

切線PB方程為

又切線PA、PB都經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，則

因此直線AB方程為

即b2(xt-a2)+a2my=0，故直線AB恒過(guò)定點(diǎn)

圖2

當(dāng)然，在研究有心二次曲線問(wèn)題中，經(jīng)常采取類比的思想，橢圓中有結(jié)論1，雙曲線經(jīng)過(guò)探究，也有類似的性質(zhì)，見(jiàn)結(jié)論2所述.

結(jié)論2已知雙曲線Γ:點(diǎn)P為直線x=t(0＜|t|＜a)上動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作雙曲線Γ的切線PA、PB，A、B為切點(diǎn)，則直線AB恒過(guò)點(diǎn)

結(jié)論2的證明可以類比結(jié)論1的證明過(guò)程得到，在此不作贅述.如果進(jìn)一步在拋物線中探究，也可以得到一個(gè)優(yōu)美結(jié)論，詳細(xì)表述和論證見(jiàn)結(jié)論3.

結(jié)論3已知拋物線Γ:x2=2py(p＞0)，點(diǎn)P為直線y=-t(t＞0)上動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線Γ的切線PA、PB，A、B為切點(diǎn)，則直線AB恒過(guò)點(diǎn)(0,t).

證明設(shè)P(m,-t)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，又則切線PA方程為切線PB方程為又切線PA、PB都經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，則因此直線AB方程為即p(y-t)-mx=0，因此直線AB恒過(guò)點(diǎn)(0,t).

無(wú)獨(dú)有偶，2019年全國(guó)3卷理科數(shù)學(xué)第21題解析幾何試題就是結(jié)論3的一個(gè)特例，具體試題摘抄如下：

高考真題(2019年全國(guó)3卷理科數(shù)學(xué)第21題節(jié)選(1))已知曲線為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作C的切線，切點(diǎn)分別A,B，證明直線AB過(guò)定點(diǎn).

對(duì)稱美是數(shù)學(xué)美的一種重要呈現(xiàn)，數(shù)學(xué)命題也因逆向思考而更加完美.對(duì)于結(jié)論1、結(jié)論2、結(jié)論3，從逆向探究得到了結(jié)論4、結(jié)論5及結(jié)論6.

3.逆向探究，呈現(xiàn)數(shù)學(xué)美

結(jié)論4已知橢圓過(guò)點(diǎn)Q(t,0)(0＜|t|＜a)的直線l與橢圓Γ相交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作橢圓Γ的兩條切線l1,l2，則直線l1與直線l2的交點(diǎn)P恒在直線上.

證明(i)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，不妨設(shè)斜率為k，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，x1x2，則直線l的方程為y=kx-kt，又直線l1方程為

直線l2方程為

由(1)×y2-(2)×y1可得

此時(shí)直線l1與直線l2的交點(diǎn)P恒在直線上.

(ii)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=t，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知此時(shí)直線l1與直線l2的交點(diǎn)P必在x軸上，不妨設(shè)P(x0,0)，由可得不妨設(shè)A點(diǎn)在x軸上方，則則

-t(t-x0)=a2-t2,于是也在直線上，綜上所述，直線l1與直線l2的交點(diǎn)P恒在直線上.

結(jié)論5已知雙曲線(a,b＞0)，過(guò)點(diǎn)的直線l與雙曲線Γ相交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作雙曲線Γ的兩條切線l1,l2，則直線l1與直線l2的交點(diǎn)P恒在直線x=t上.

結(jié)論5的證明，可以類比結(jié)論4的證明得到，感興趣的可以模仿著去推導(dǎo).

結(jié)論6過(guò)點(diǎn)Q(0,t)(t＞0)的直線l拋物線Γ:x2=2py(p＞0)相交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作拋物線Γ的兩條切線l1,l2，則直線l1與直線l2的交點(diǎn)P恒在直線y=-t上.

證明設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，由x2=2py可得則切線l1方程為

切線l2方程為

由(?)·x2-(??)·x1得

又x1x2,故由題意可知直線l的斜率存在，不妨設(shè)為k，則直線l的方程為y=kx+t，由

消去y可得x2-2pkx-2pt=0，所以x1x2=-2pt，因此

即直線l1與直線l2的交點(diǎn)P恒在直線y=-t上.

4.面積問(wèn)題的推廣

結(jié)論7已知橢圓點(diǎn)P為直線上動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作橢圓Γ的切線PA、PB，A、B為切點(diǎn)，則△PAB的面積最小值為

證明設(shè)由結(jié)論1可知直線AB的方程為即b2x+cty-b2c=0，故點(diǎn)P到直線AB的距離

由

消去x可得

又Δ＞0，則

化簡(jiǎn)整理可得

所以

于是

函數(shù)f(λ)在區(qū)間[b2,+∞)上單調(diào)遞增，因此

結(jié)論8已知橢圓點(diǎn)P為直線上動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作橢圓Γ的切線PA、PB，A、B為切點(diǎn)，則△PAB的面積最小值為

結(jié)論8的證明，感興趣的讀者可以參考結(jié)論7證明過(guò)程進(jìn)行，在此不作贅述.

敢于猜想，善于思考，嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)，方能不斷提高數(shù)學(xué)教師的實(shí)踐能力和專業(yè)素養(yǎng)，提升創(chuàng)新意識(shí).圓錐曲線內(nèi)容豐富多彩，活力四射，精心雕琢、用心推理定能讓其魅力綻放，絢麗奪目.