不可小覷的點(diǎn)子圖

唐明

[摘 要]針對(duì)不少教師對(duì)點(diǎn)子圖棄而不用的現(xiàn)狀，探究點(diǎn)子圖在不同領(lǐng)域的作用，使教師清晰地認(rèn)識(shí)到點(diǎn)子圖在計(jì)算教學(xué)中的價(jià)值。通過(guò)“筆算兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的課堂教學(xué)及后續(xù)思考，發(fā)現(xiàn)教學(xué)中借助點(diǎn)子圖，有助于學(xué)生掌握算法、理解算理，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力和推理能力。

[關(guān)鍵詞]點(diǎn)子圖;數(shù)形結(jié)合;推理;運(yùn)算能力

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2019）23-0048-02

在人教版教材三年級(jí)下冊(cè)“筆算兩位數(shù)乘兩位數(shù)”中，新版教材首次引入點(diǎn)子圖這一計(jì)算模型來(lái)幫助學(xué)生探索算法、理解算理。然而，大多數(shù)教師并沒有對(duì)點(diǎn)子圖予以重視，認(rèn)為使用點(diǎn)子圖是浪費(fèi)時(shí)間、多此一舉。這一現(xiàn)狀引發(fā)了筆者對(duì)于點(diǎn)子圖的關(guān)注。

一、點(diǎn)子圖在筆算教學(xué)中發(fā)揮著怎樣的作用？

對(duì)比新舊人教版教材這部分的內(nèi)容（如圖1），情境類似，但新版教材增加了用點(diǎn)子圖解釋算法的部分，這樣編排的依據(jù)是該階段學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。三年級(jí)學(xué)生還需要有較多的動(dòng)手操作和直觀表象作為支撐。點(diǎn)子圖可以使學(xué)生通過(guò)數(shù)形結(jié)合理解算理、掌握算法。如果沒有點(diǎn)子圖，學(xué)生只能借助教師的語(yǔ)言描述理解算法和算理，由于缺乏直觀圖式的輔助，學(xué)生可能表面上會(huì)計(jì)算，實(shí)際上并不完全理解算理。

教學(xué)”筆算兩位數(shù)乘兩位數(shù)”時(shí)，理解算理是難點(diǎn)。當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)不能直接計(jì)算時(shí)，教師適時(shí)引出點(diǎn)子圖，啟發(fā)學(xué)生利用點(diǎn)子圖圈一圈、分一分、算一算，把未知的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成已知的知識(shí)來(lái)探索。

例如，計(jì)算：23×13。

點(diǎn)子圖在計(jì)算教學(xué)中起到溝通的作用。當(dāng)學(xué)生不會(huì)算的時(shí)候，可以借助點(diǎn)子圖探究計(jì)算方法;當(dāng)學(xué)生會(huì)算了，卻說(shuō)不清、道不明的時(shí)候，可以借助點(diǎn)子圖來(lái)解釋自己為什么這樣算。作為直觀模型的點(diǎn)子圖，讓學(xué)生在計(jì)算的過(guò)程中眼中有“數(shù)”，腦中有“形”，數(shù)形結(jié)合、算理溝通，清晰構(gòu)建出兩位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式模型。

二、怎樣在點(diǎn)子圖上將算式表征和圖形表征保持一致？

因?yàn)橹皼]有使用點(diǎn)子圖的經(jīng)驗(yàn)，有的學(xué)生對(duì)于點(diǎn)子圖茫然無(wú)措，有的學(xué)生會(huì)寫算式，但不會(huì)在點(diǎn)子圖上表示出來(lái)，還有的學(xué)生點(diǎn)子圖和算式表達(dá)的內(nèi)容不一致。

北師大版教材“筆算兩位數(shù)乘兩位數(shù)”用兩節(jié)課的時(shí)間讓學(xué)生識(shí)圖、用圖，經(jīng)歷算法多樣化的過(guò)程，這樣安排時(shí)間是比較合理的。教學(xué)本課之前，教師可以讓學(xué)生先在點(diǎn)子圖上圈一圈（如圖3），表示出加、減、乘、除的算式，明確算式中的每個(gè)數(shù)在點(diǎn)子圖中的什么位置。然后，讓學(xué)生嘗試用點(diǎn)子圖計(jì)算“14×12”。只要給學(xué)生思考的時(shí)間，他們的思維空間會(huì)非常開闊，這樣得出的每一種方法都真實(shí)記錄了學(xué)生的思維過(guò)程，展示了學(xué)生多樣化的學(xué)習(xí)方式（如圖4）。雖然學(xué)生計(jì)算的方法不完全相同，但都是依循“先分后合”的思路，這一點(diǎn)恰恰是乘法豎式計(jì)算的基本思路。

三、怎樣挖掘點(diǎn)子圖的更多價(jià)值？

張景中院士認(rèn)為，計(jì)算和推理是相通的，計(jì)算要有方法，這方法里就體現(xiàn)了推理，即寓理于算的思想;計(jì)算是具體的推理，推理是抽象的計(jì)算。

那么，點(diǎn)子圖的作用僅僅在“筆算兩位數(shù)乘兩位數(shù)”時(shí)曇花一現(xiàn)嗎？單元練習(xí)出現(xiàn)了探究“兩位數(shù)乘11”和“幾十五自乘”的規(guī)律，先讓學(xué)生通過(guò)具體計(jì)算發(fā)現(xiàn)積與乘數(shù)之間的關(guān)系，再介紹一些口訣幫助記憶，合情合理。但規(guī)律背后深層次的原理呢？計(jì)算活動(dòng)中學(xué)生的高層次思維呢？還是需要借助點(diǎn)子圖厘清推理的步驟和過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生掌握一定的推理方法，發(fā)展推理能力。

如，在學(xué)生概括、總結(jié)“兩位數(shù)乘11”的規(guī)律時(shí)，可結(jié)合點(diǎn)子圖幫助理解31×11的算理。如圖5所示，“兩頭一拉”實(shí)際是30×10=300，即積的百位是3，個(gè)位1×1=1，則積的個(gè)位是1;“中間相加”是30×1+10×1=40，則積的十位是4。

又如，學(xué)生在計(jì)算15×15，25×25，35×35等算式后發(fā)現(xiàn)，積的后兩位數(shù)都是25，但前面高位數(shù)的規(guī)律不好表述。教學(xué)時(shí)，教師可以將點(diǎn)子圖抽象成矩形圖（如圖6），將15×15看成（10+5）×（10+5），學(xué)生就能清楚地看到積由4個(gè)部分構(gòu)成。將其中5×10的矩形移到第一行，則第一行的三個(gè)部分從“形”上構(gòu)成了一個(gè)長(zhǎng)為10+5+5、寬為10的長(zhǎng)方形，可以用20×10表示它的點(diǎn)子數(shù)。這樣原來(lái)的大正方形點(diǎn)子圖就轉(zhuǎn)化成了兩部分，上面的長(zhǎng)方形是20×10，下面的小正方形是5×5。因此，“幾十五自乘”的規(guī)律為：積的后兩位數(shù)都是25，前面的高位數(shù)是乘數(shù)的十位數(shù)×（乘數(shù)的十位數(shù)+1）?；跀?shù)形結(jié)合，學(xué)生在理解規(guī)律背后的道理時(shí)有了“移動(dòng)”“合并”的直觀印象，明白了“為什么這樣算”的問(wèn)題，獲得了正確、可靠的思維依據(jù)。

計(jì)算教學(xué)的價(jià)值不僅僅是讓學(xué)生正確、熟練地運(yùn)算，更重要的是讓學(xué)生體會(huì)運(yùn)算原理、推理的思想方法、規(guī)定算法的合理性等。點(diǎn)子圖作為一種計(jì)算模型，具有形象性和概括性，其作用不可小覷。教師應(yīng)充分挖掘此類素材，培養(yǎng)學(xué)生集計(jì)算、算理、算法和推理轉(zhuǎn)化等多種數(shù)學(xué)思想方法于一體的綜合能力。

（責(zé)編 李琪琦）