農(nóng)村高中數(shù)學(xué)教學(xué)中化歸思想的運(yùn)用探究

劉曉曦

摘 要：學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是在學(xué)習(xí)中思考方法，鍛煉邏輯思維。在高中最主要的就是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想，化歸思想在眾多的數(shù)學(xué)思想中占有重要地位。化歸思想簡單來說就是轉(zhuǎn)化，也就是把復(fù)雜的難解決的問題轉(zhuǎn)化為簡單的易入手的問題，來提高解題效率。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師應(yīng)當(dāng)注重對學(xué)生進(jìn)行化歸思想的培養(yǎng)，加強(qiáng)訓(xùn)練學(xué)生使用化歸思想，使學(xué)生能夠掌握并能熟練應(yīng)用，從而提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。特別在農(nóng)村高中的數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，更要加強(qiáng)對化歸思想的認(rèn)識及運(yùn)用。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；化歸思想；邏輯思維

初中數(shù)學(xué)教學(xué)主要教學(xué)生知識和方法，而高中數(shù)學(xué)教學(xué)則重視培養(yǎng)學(xué)生的思維。大量事實(shí)證明，高中數(shù)學(xué)要比初中數(shù)學(xué)難得多，而農(nóng)村地區(qū)由于各種限制，如教師教學(xué)水平、課外資源、經(jīng)濟(jì)能力等，導(dǎo)致農(nóng)村高中生與城市里的高中生在學(xué)習(xí)資源選擇中存在較大的差距，他們沒有足夠的學(xué)習(xí)資源和學(xué)習(xí)環(huán)境，而且高中數(shù)學(xué)課程知識的綜合性更大，這就要求農(nóng)村高中教師更要注重對學(xué)生數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)。高中數(shù)學(xué)中處處體現(xiàn)著數(shù)學(xué)思想，缺乏一定邏輯思維和數(shù)學(xué)思想的學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)會(huì)感到吃力，如果不能跟上，對難題無從下手，長此以往，挫敗感與無助感就會(huì)嚴(yán)重挫傷學(xué)生的積極性，而一旦偏科，會(huì)對學(xué)生的整體學(xué)習(xí)水平產(chǎn)生重大的影響。這在農(nóng)村高中是普遍存在的。這就要求教師要在無形中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，如培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想，在初中學(xué)習(xí)中學(xué)生可能初步接觸轉(zhuǎn)化思想，高中時(shí)期教師則需要具體講解，通過將難題轉(zhuǎn)化為簡單問題，運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想解決實(shí)際問題。

一、對化歸思想的認(rèn)識

化歸思想簡單來說，就是把復(fù)雜問題、未知問題通過轉(zhuǎn)化的方法歸結(jié)到簡單的、已知的問題，以便得出結(jié)果，化歸思想實(shí)際上就是利用已有的知識和數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系將問題不斷轉(zhuǎn)化成容易解決的問題。化歸思想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中使用十分廣泛，它主要包含四個(gè)方面：化繁為簡，在已知條件和待解決問題比較復(fù)雜時(shí)，就可以把它們化成簡單的條件和要求；化難為易，是指我們在遇到新的難的問題時(shí)，把它們轉(zhuǎn)化為我們熟悉的、比較簡單的問題，進(jìn)而解決問題；化未知為已知，指仔細(xì)閱讀題干，將隱藏的信息提取，把待解決的問題轉(zhuǎn)化為已知問題；化大為小，指在解決一個(gè)綜合性問題時(shí)，將大的問題分解，通過解決一個(gè)個(gè)小問題達(dá)到解決最終的大問題?；瘹w思想最基本的功能就是將抽象問題轉(zhuǎn)化為具體問題，想要掌握化歸思想就需要善于發(fā)現(xiàn)問題間的聯(lián)系，把握它們之間的聯(lián)系來進(jìn)行轉(zhuǎn)化。教師在日常教學(xué)中需要注意引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)知識聯(lián)系起來，形成一個(gè)知識體系，發(fā)現(xiàn)它們的共通之處，運(yùn)用化歸思想時(shí)才能得心應(yīng)手。根據(jù)化歸思想的定義與解釋，可以發(fā)現(xiàn)眾多數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法都屬于化歸思想，如等價(jià)轉(zhuǎn)化法、待定系數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法、構(gòu)造法、換元法等。

二、運(yùn)用化歸思想的原則

1.標(biāo)準(zhǔn)化原則

許多數(shù)學(xué)知識只有具有標(biāo)準(zhǔn)形式才具有特殊意義，教材中的例題也是具有典型意義的，由此來看，一些數(shù)學(xué)知識只有是標(biāo)準(zhǔn)的才有特殊性質(zhì)，如橢圓的基本性質(zhì)PF1+PF2=2a，具有對稱性等，只有標(biāo)準(zhǔn)的橢圓才具備。所以教師在教學(xué)過程中應(yīng)注意標(biāo)準(zhǔn)化，教導(dǎo)學(xué)生在解題時(shí)先確定問題是否是標(biāo)準(zhǔn)形式，如果是，才能進(jìn)行轉(zhuǎn)化，否之，則應(yīng)采取其他方法解決問題。

2.熟悉化原則

熟悉化原則是指在解答一個(gè)陌生問題時(shí)，應(yīng)先思考其與已學(xué)知識的聯(lián)系，或從積累的與它相關(guān)的習(xí)題的做題經(jīng)驗(yàn)入手，而不是一頭霧水地盲目嘗試，熟悉化原則是運(yùn)用化歸思想的基本方法和原則，也是化歸思想的基本內(nèi)涵。如解一個(gè)一元三次方程會(huì)比較困難，此時(shí)學(xué)生聯(lián)想曾經(jīng)學(xué)的一元一次方程和一元二次方程就會(huì)找到解題思路，通過把一元三次方程轉(zhuǎn)化為熟悉的一元二次方程就會(huì)大大減少解題步驟。

3.和諧化原則

數(shù)學(xué)練習(xí)中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)題目給的條件不統(tǒng)一的情況，如異名三角函數(shù)，在教學(xué)時(shí)教師就可以引導(dǎo)學(xué)生先將其轉(zhuǎn)化為相同的條件，即利用輔助角公式或二倍角公式把異名三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為同名三角函數(shù)，這就體現(xiàn)了化歸思想中的和諧化原則。

4.具體化原則

由于數(shù)學(xué)問題中涉及許多立體化、空間化、抽象化問題，此時(shí)單靠想象并不容易解決問題，遇到這種題目的條件比較抽象的、條件之間關(guān)系模糊的，首先就應(yīng)該把抽象的問題轉(zhuǎn)化為具體的、較直觀的問題，其中最具代表性的就是函數(shù)問題，這類問題通常畫出該函數(shù)的函數(shù)圖像，根據(jù)它的定義域、值域等性質(zhì)解答會(huì)更直觀、容易得多。

三、常見的化歸方法

化歸方法種類較多，使用比較頻繁的主要有換元法、數(shù)形結(jié)合法、等價(jià)轉(zhuǎn)化法等。換元法是指在解答數(shù)學(xué)問題時(shí)，把某個(gè)式子當(dāng)作一個(gè)整體，用變量表示，使一個(gè)復(fù)雜的式子變成只含有這個(gè)變量的簡單式。運(yùn)用換元把式子變成有理式或使整式降冪，都能把復(fù)雜的函數(shù)、方程轉(zhuǎn)化為較簡單的問題。如：已知f（x-1）=x2-3x+2，求f（x+1）的解析式，采用換元法，使x-1=t，即可得到x=t+1，則f（t）=（t+1）2-3（t+1）+2，把它的原式化成一元二次函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式就相對簡單一些了。數(shù)形結(jié)合法也是運(yùn)用比較多的方法，數(shù)與形是數(shù)學(xué)最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化，使用數(shù)形結(jié)合法要么根據(jù)精確的數(shù)來闡明形的性質(zhì)，要么根據(jù)形的直觀性來說明數(shù)之間的關(guān)系。數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非”，數(shù)形結(jié)合“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”可以使抽象問題具體化。等價(jià)轉(zhuǎn)化法是把原問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)易解決的等價(jià)命題，通過不斷轉(zhuǎn)化把復(fù)雜的、陌生的、不規(guī)范的問題轉(zhuǎn)化為簡單的、熟悉的、較規(guī)范的問題，如：f（x）是R上的奇函數(shù)，f（x+2）=f（x），當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f（x）=x，則f（7.5）等于多少，我們在教學(xué)時(shí)，就可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)周期為2，繼而轉(zhuǎn)化得出f（7.5）=f（-0.5）=-f（0.5）。這些方法一旦掌握，在學(xué)習(xí)中就能省時(shí)省力，經(jīng)常在教學(xué)中滲透轉(zhuǎn)化思想，也能提高學(xué)生的解題能力和水平。

四、如何運(yùn)用化歸思想

教師在使學(xué)生明了化歸思想的使用原則和主要的化歸方法后，就能嘗試著在高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識教學(xué)中運(yùn)用化歸思想了。由于大多數(shù)農(nóng)村高中學(xué)生的基礎(chǔ)稍顯薄弱，教師在備課時(shí)要充分鉆研教材，要盡量把數(shù)學(xué)知識中的化歸過程整理出來，這樣才能使絕大多數(shù)學(xué)生理解知識，才能滿足課堂教學(xué)要求。同時(shí)也要注意滲透化歸思想時(shí)考慮學(xué)生的適應(yīng)程度，學(xué)生對知識的掌握不是一蹴而就的，只有經(jīng)過不斷練習(xí)才能融會(huì)貫通。

以“函數(shù)值域”一課的教學(xué)為例，由于函數(shù)概念比較抽象，在解答函數(shù)值域過程中會(huì)比較困難，但根據(jù)化歸思想的簡化原則，我們利用幾何圖形的概念來解決就會(huì)相對簡單。經(jīng)過閱讀、分析題目后我們可以得出：點(diǎn)（2cosx，4sinx）在軌跡方程的橢圓上，所以我們可以將它轉(zhuǎn)化為橢圓上的點(diǎn)（4，-1）連線的斜率來求值域，即可得出：

解：依題意得，（2cosx，4sinx）在軌跡方程的橢圓上，

因?yàn)閟in2x+cos2x=1，所以題中所求值域就是橢圓上的點(diǎn)和點(diǎn)（4，-1）連線的斜率。

所以可設(shè)切線方程為y+1=k（x-4），將其與橢圓聯(lián)立，得判別式為0，即4x2+[k（x-4）-1]2=16

（4+k2）x2-8（k2+2k）x+16k2+8k-15=0

Δ=[-8（k2+2k）]2-4（4+k2）（16k2+8k-15）=0

化簡得：12k2+8k-15=0，（2k+3）（6k-5）=0

通過將值域轉(zhuǎn)化為斜率，然后就可求出取值范圍。這是典型的數(shù)形結(jié)合問題，初看是函數(shù)問題，進(jìn)行分析后會(huì)發(fā)現(xiàn)它其實(shí)是與橢圓相關(guān)的問題，采用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化后就能把復(fù)雜問題簡單化。學(xué)生在課后積極反思，并加以練習(xí)，就能逐漸達(dá)到舉一反三的效果。

教師在教學(xué)時(shí)要緊密聯(lián)系教材，考題都是從教材知識中衍生出來的，所以打好基礎(chǔ)是根本性保障。所以，在教學(xué)過程中教師要深入挖掘知識間的聯(lián)系，幫助學(xué)生建立全方位的知識體系，如在講解函數(shù)、三角函數(shù)、圓、橢圓等問題時(shí)教師要積極引導(dǎo)學(xué)生探索其中蘊(yùn)含的待定系數(shù)法、配方法、換元法等化歸思想。如在講解：

已知2f（-tanx）+f（tanx）=sin2x，求f（x）時(shí)，

sin2x=2sinxcosx=2sinxcosx/（sin2x+cos2x）=2tanx/（tanx2+1）

所以令t=tanx，則2f（-t）+f（t）=2t/（t+1），

這是一個(gè)關(guān)于f（t）的函數(shù)方程，我們也可以根據(jù)化歸思想的構(gòu)造法來解決，根據(jù)方程特征通過換元構(gòu)造出一個(gè)新的方程，聯(lián)立方程得出一個(gè)二元方程組，然后消元，解出f（x）。運(yùn)用這些簡單的化歸思想能夠有效提高學(xué)生的解題效率，也能促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展。

五、化歸思想的作用

1.有利于全面掌握數(shù)學(xué)知識

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，化歸思想是運(yùn)用得比較廣泛的，而化歸思想的熟練運(yùn)用是建立在對所學(xué)知識有比較系統(tǒng)的理解之上的，學(xué)生只有熟練地在所學(xué)知識中建立聯(lián)系，全面了解所學(xué)知識，才能靈活使用化歸思想。學(xué)生掌握化歸思想的過程就是對所學(xué)知識進(jìn)行意義建構(gòu)的過程，學(xué)生通過在做題中尋找題目的題眼，思考問題與解決問題所需要的知識之間的聯(lián)系完成解答。使用化歸思想，把遇到的難題進(jìn)行歸納，可以幫助學(xué)生理解知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，幫助他們建立思維導(dǎo)圖、全面掌握數(shù)學(xué)知識。

2.有利于培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維

高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo)主要是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，而化歸思想則是不可或缺的組成部分，運(yùn)用化歸思想需要學(xué)生清楚方程與函數(shù)間的關(guān)系，在解答問題時(shí)不被定勢思維桎梏，能夠在較短的時(shí)間內(nèi)找出簡化問題的轉(zhuǎn)化方向。同時(shí)在使用化歸思想時(shí)需要學(xué)生不斷思考、推理，在這個(gè)過程中，可以培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、敏捷性。笛卡兒說過：“數(shù)學(xué)是使人變聰明的一門科學(xué)”，數(shù)學(xué)思想和方法反映了數(shù)學(xué)知識與規(guī)律間的聯(lián)系，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思維能夠使學(xué)生形成良好的知識結(jié)構(gòu)。

3.有利于培養(yǎng)學(xué)生解決習(xí)題的能力

學(xué)生學(xué)習(xí)化歸思想，利用已有知識解決新問題的過程是一個(gè)溫故而知新的過程，學(xué)生在解題時(shí)通過轉(zhuǎn)化已有知識攻克新的難點(diǎn)，利用化歸思想分析題目的結(jié)構(gòu)和內(nèi)容，把題目轉(zhuǎn)化為經(jīng)典的解題模型，最后經(jīng)過分析和總結(jié)，既能鞏固舊知識、學(xué)習(xí)新知識，也能提高他們解決問題的能力。

綜上所述，在高中數(shù)學(xué)課堂中滲透化歸思想不僅能為課堂注入新的活力，提高學(xué)生的積極性，也能促進(jìn)學(xué)生自主思考、探究問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。對于農(nóng)村地區(qū)的高中學(xué)生來說，在課堂中運(yùn)用化歸思想更能幫助他們回顧、建構(gòu)、重組知識，幫助他們夯實(shí)基礎(chǔ)，提高他們的學(xué)習(xí)水平。所以農(nóng)村地區(qū)的高中教師要充分創(chuàng)設(shè)情境，鼓勵(lì)學(xué)生觸類旁通，合理利用化歸思想解決問題，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，提升自身的教學(xué)水平。

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編輯 謝尾合