聚焦概念本質(zhì) 錘煉數(shù)學(xué)思維

夏杭英

【摘 要】以人教版三上“周長的認(rèn)識”一課教學(xué)為例，在小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師可以通過反思追問“環(huán)節(jié)目標(biāo)是否指向本質(zhì)、教學(xué)內(nèi)容是否指向多維、教學(xué)方法是否指向經(jīng)歷”，聚焦數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)學(xué)習(xí)；同時，教師可以在概念教學(xué)中做到“在操作活動中感知數(shù)形結(jié)合，在區(qū)別分辨中產(chǎn)生創(chuàng)造思維，在視覺沖擊中發(fā)展空間觀念”，從而錘煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

【關(guān)鍵詞】概念本質(zhì)；數(shù)學(xué)思維；周長的認(rèn)識

小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)是讓學(xué)生理解概念的內(nèi)涵及本質(zhì)屬性，掌握概念的外延及特征、性質(zhì)與規(guī)律，并能正確運用概念進(jìn)行思維活動的教學(xué)。從定義上看，概念其實是思維活動的結(jié)晶，概念的獲得不是一蹴而就的，而是對眾多現(xiàn)象進(jìn)行抽象概括的過程。這個學(xué)習(xí)的過程，也是學(xué)生思維能力逐步提高的過程。那么，在小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，聚焦概念的本質(zhì)學(xué)習(xí)，錘煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維就顯得至關(guān)重要了。本文以人教版三上“周長的認(rèn)識”一課磨課經(jīng)歷為例，展開闡述。

一、聚焦概念本質(zhì)

在實際概念教學(xué)中，教師常常圍繞概念設(shè)計一系列活動，但是這些活動是否真正體現(xiàn)概念的本質(zhì)，對學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展是否真正有幫助呢？這就需要教師在完成教學(xué)設(shè)計后，對環(huán)節(jié)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法等進(jìn)行本質(zhì)的追問，從而使教學(xué)設(shè)計能夠有效聚焦概念的本質(zhì)。

（一）環(huán)節(jié)目標(biāo)是否指向本質(zhì)

環(huán)節(jié)目標(biāo)指教學(xué)環(huán)節(jié)各部分的小目標(biāo)，是整堂課教學(xué)目標(biāo)的一部分。概念的本質(zhì)指概念的本質(zhì)意義。每一堂數(shù)學(xué)概念課設(shè)計后，我們需要對每一個環(huán)節(jié)目標(biāo)進(jìn)行追問：這個數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)是什么，環(huán)節(jié)目標(biāo)是否指向這個概念的本質(zhì)？

“周長的認(rèn)識”一課第一次試教的各環(huán)節(jié)目標(biāo)與展開是這樣安排的。

1.揭示周長概念：你能指一指它（指巨型蘑菇模型圖）的周長嗎？學(xué)生多個指了以后，小結(jié)：從起點開始再回到起點，就是一周的長度，就是這個圖形的周長。

2.辨別描出周長：請描出這些圖形（見下圖）的周長，第五個圖形你遇到了什么問題？（不是封閉圖形，通過討論揭示封閉圖形，再把它補成封閉圖形）

3.圖形里面的線是周長的一部分嗎？中間加一條線，你還會指出它的周長嗎？

4.周長的長短受什么影響：把這個三角形剪一刀讓周長更長，你行嗎？如果是更短呢？

5.聯(lián)系生活實物：找一找身邊的物體，選其中的一個面，摸一摸它的周長。

6.測量周長：小組合作選擇合適的工具測量這些圖形的周長（三角形、長方形、五角星、圓形），重點展示各種方法。

7.拓展題：一個長方形把它變成兩個周長相等的圖形，你有什么辦法？

課后反思追問：周長的本質(zhì)是什么？一周的長度是周長，這是最本質(zhì)的意義，可以用“從起點開始再回到起點”這樣的描述來幫助學(xué)生理解。封閉圖形也是周長意義的一部分，是需要讓學(xué)生感受和學(xué)習(xí)的。那么，圖形里面的線要不要算為周長，周長的長短受什么影響，用多種方法測量這幾個圖形，是否就掌握周長概念最本質(zhì)的意義呢？

經(jīng)過這樣的追問，教學(xué)設(shè)計進(jìn)行了調(diào)整，第1、2環(huán)節(jié)保留，3和4環(huán)節(jié)被刪除，6測量周長仍然保留，但是重點調(diào)整為利用測量鞏固周長的意義，周長是哪幾條？我們怎么量？讓學(xué)生通過操作感知到，把所有的周長的線條量出來再加起來的和就是這個圖形的周長。

環(huán)節(jié)目標(biāo)是推進(jìn)核心目標(biāo)達(dá)成的重要部分，像這樣對環(huán)節(jié)目標(biāo)進(jìn)行本質(zhì)追問，可以幫助教師真正聚焦概念的本質(zhì)，讓課堂學(xué)習(xí)簡潔有效。

（二）教學(xué)內(nèi)容是否指向多維

教學(xué)內(nèi)容指教師選擇的供學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)容，傾向于學(xué)習(xí)素材。多維指多背景、多層次、多側(cè)面、多結(jié)構(gòu)。概念教學(xué)設(shè)計完成后，教師需要對每一個學(xué)習(xí)素材進(jìn)行分析：這些素材是否體現(xiàn)了多維學(xué)習(xí)？

我們來看“周長的認(rèn)識”第一次試教的學(xué)習(xí)素材。

內(nèi)容1：視頻新聞：巨型蘑菇介紹

內(nèi)容2： 五個圖形描周長

內(nèi)容3：一個三角形剪一剪

內(nèi)容4：身邊的實物，按學(xué)生說的隨機(jī)

內(nèi)容5：四個圖形紙片：三角形、長方形、五角星、圓形

內(nèi)容6：一個長方形一分為二后周長相等

不難發(fā)現(xiàn)，整堂課的學(xué)習(xí)內(nèi)容只選擇了蘑菇（視頻呈現(xiàn)）、身邊的實物（限于教室）和五種基本圖形，難以體現(xiàn)多背景、多層次、多側(cè)面、多結(jié)構(gòu)的要求。

調(diào)整如下：

1.在說說身邊的實物這一環(huán)節(jié)中，增加了籃球場、游泳池等教室外的場景，體現(xiàn)多背景。

2.周長的學(xué)習(xí)除了規(guī)則物體外，還可以是不規(guī)則物體，增加人的腰圍、樹葉的邊緣等內(nèi)容，體現(xiàn)多側(cè)面。

3.測量周長時選擇了三角形、長方形、五角星、圓形，把第一個三角形改為不規(guī)則圖形，從不規(guī)則到規(guī)則再到圓形，體現(xiàn)多層次。

經(jīng)過這樣的調(diào)整，學(xué)習(xí)素材仍然比較簡潔，但是已經(jīng)包含了多背景、多側(cè)面、多層次的要求，盡可能讓小小的數(shù)學(xué)課堂給學(xué)生展現(xiàn)一個大世界。在這樣的大世界中，通過對多種事物本質(zhì)屬性的概括，最終形成概念，聚焦概念的本質(zhì)學(xué)習(xí)。

（三）教學(xué)方法是否指向經(jīng)歷

教學(xué)方法指教學(xué)過程中教師教和學(xué)生學(xué)的方法，概念教學(xué)需要學(xué)生經(jīng)歷概念產(chǎn)生發(fā)展的過程或者由來等。概念教學(xué)設(shè)計完成后，需要對教學(xué)方法進(jìn)行剖析：怎樣讓學(xué)生經(jīng)歷過程？

“周長的認(rèn)識”一課需要讓學(xué)生經(jīng)歷周長概念產(chǎn)生的過程。

1.直觀模型，經(jīng)歷具體到抽象。引入環(huán)節(jié)采用的是一則新聞視頻，介紹云南某地發(fā)現(xiàn)一個巨型蘑菇，周長1.8米。視頻播完后，教師拿出一個蘑菇的平面模型，用直觀模型讓學(xué)生經(jīng)歷從生活實物中抽象出圖形的過程。

2.指指描描，經(jīng)歷周長的產(chǎn)生。通過指一指巨型蘑菇的周長，讓學(xué)生經(jīng)歷一周的長度是從起點出發(fā)再回到起點，這樣才是一周。通過不同的起點的選擇還讓學(xué)生明白，一周的起點可以是任意一個位置。再通過描一描圖形的周長，從視覺到觸覺，切實體驗周長的產(chǎn)生過程。

3.查漏補缺，經(jīng)歷周長的由來。描一描中的第五個圖形“”學(xué)生是沒有辦法描出它的周長的，學(xué)生會說這個圖形是漏的，沒有辦法從起點描回到起點，也就是沒有周長。那怎么辦呢？可以把它補充完整。通過這樣查漏補缺的活動，讓學(xué)生經(jīng)歷“從不完整到封閉圖形”的過程。

4.方法優(yōu)化，經(jīng)歷測量的進(jìn)化。測量五個從不規(guī)則到規(guī)則圖形的周長的過程，一定程度上也反映了測量方法的進(jìn)化過程。首先不規(guī)則圖形只能是一條邊一條邊地量，到規(guī)則圖形，發(fā)現(xiàn)不用全部量，可以量一部分，其他的計算；再到圓形，發(fā)展到化曲為直的方法。這樣讓學(xué)生在操作的同時，感受到方法的多樣性，經(jīng)歷了方法的優(yōu)化過程。

這樣讓學(xué)生充分經(jīng)歷“周長從哪里來，是什么，有什么特征，又到哪里去”的這樣一個過程，使學(xué)生充分理解周長，從而掌握周長的概念本質(zhì)。

可見，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時，讓學(xué)生經(jīng)歷概念的來龍去脈，能更好地幫助學(xué)生理解概念的本質(zhì)。

二、錘煉數(shù)學(xué)思維

數(shù)學(xué)思維是一種以數(shù)學(xué)概念作為基本要素、以符號語言作為媒介、用數(shù)學(xué)方法對數(shù)學(xué)對象進(jìn)行思考分析，進(jìn)而解決問題的能力。數(shù)學(xué)思維是多種思維能力的綜合運用?？梢?，錘煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生的思維能力，是我們數(shù)學(xué)課孜孜不倦并持之以恒的奮斗目標(biāo)。

（一）操作活動中感知數(shù)形結(jié)合

數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)。數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用大致可分為兩種情形：“以數(shù)解形”“以形助數(shù)”。

1.以數(shù)解形理解周長本質(zhì)

以數(shù)解形指借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性，在本課中指借助巨型蘑菇的周長來闡明周長的本質(zhì)。

播放新聞視頻，出現(xiàn)巨型蘑菇“周長1.8米”，這是首先在學(xué)生頭腦中建立數(shù)，讓學(xué)生初步感知周長。然后教師用圖片把巨型蘑菇抽象成一個圖形，問：周長1.8米指的是哪里？讓學(xué)生直觀地把1.8米和圖形的周長建立了聯(lián)系，從而明確周長的本質(zhì)意義。

像這樣，先有數(shù)的具象，再到形的表象，兩者合二為一后，凝聚成概念的本質(zhì)。

2.以形助數(shù)豐富周長內(nèi)涵

以形助數(shù)指借助形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間的某種關(guān)系，在本課中指借用圖形的直觀特征來豐富周長的內(nèi)涵屬性。

在揭示周長本質(zhì)概念后，本課出示了以下五個圖形，讓學(xué)生來描出周長。在描的過程中，學(xué)生從圖形的辨析中會發(fā)現(xiàn)，第五個圖形的周長沒辦法描出來，從而引導(dǎo)學(xué)生理解原來周長是要封閉圖形才能有的。

后面的測量環(huán)節(jié)，就是采用數(shù)據(jù)來進(jìn)一步豐富周長的內(nèi)涵。通過測量，學(xué)生深刻體會到周長就是把一周的線的長度量出來。

在這里，是先有形的表象，再有數(shù)的充實，兩者合二為一后，豐富了概念的內(nèi)涵。

（二）區(qū)別分辨中產(chǎn)生創(chuàng)造思維

創(chuàng)造性思維是當(dāng)今教育越來越重視的一項能力，也是數(shù)學(xué)課中的點睛之筆。“周長的認(rèn)識”通過三個環(huán)節(jié)來進(jìn)行滲透與熏陶。

第一環(huán)節(jié)是“”這個圖形沒有周長，怎么辦？你能補一補讓它有周長嗎？學(xué)生有很多奇思妙想，有直接用一條直線封底的，有下面用一個“”對稱的，有下面加波浪線的，有奇怪形狀的，很多很多，這時候再進(jìn)行辨別，為什么大家畫的圖形不一樣，但是都能表示出周長來呢？

第二個環(huán)節(jié)是測量周長的方法多樣化探索。你能想辦法知道這幾個圖形的周長是多少嗎？你還有其他的辦法嗎？啟迪學(xué)生開動腦筋，創(chuàng)造新的方法。

第三個環(huán)節(jié)是“一分為二”，你有多少種方法？

一個長方形把它分成兩部分，使兩部分周長一樣長，你有幾種方法？學(xué)生的思維非?；钴S，從有規(guī)則的到不規(guī)則的，花樣繁多，也體現(xiàn)了學(xué)生思維的創(chuàng)造力。

概念的學(xué)習(xí)過程也是學(xué)生思維發(fā)展的過程。設(shè)計開放型的思維活動，引導(dǎo)學(xué)生樂于思考、敢于創(chuàng)新，又能從不同事物中概括出本質(zhì)屬性，可以讓學(xué)生既掌握了概念，又發(fā)展了思維。

（三）視覺沖擊中發(fā)展空間觀念

空間觀念，因其具有規(guī)則的幾何形狀、大小和位移，能給人強烈的視覺沖擊。而低段小學(xué)生的空間概念基本是通過觀察建立，通過實踐操作佐以比較思考的心理活動后形成的。那么，怎樣通過視覺沖擊，來發(fā)展學(xué)生的空間觀念呢？

1. 從屏幕到實物，視覺轉(zhuǎn)化中完成抽象

發(fā)展空間觀念的一個重要部分是學(xué)生能根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形。要從實物的一個面對應(yīng)到一個圖形，可以認(rèn)為是一種視覺轉(zhuǎn)化，我們可以通過從屏幕到實物的轉(zhuǎn)化，讓學(xué)生在視覺沖擊中完成抽象。

第一個視覺沖擊是教師引導(dǎo)下的，視頻播放中讓學(xué)生感受巨型蘑菇，然后教師拿出一個縮小版的蘑菇圖片，把學(xué)生的視線從屏幕轉(zhuǎn)化到實物。讓學(xué)生明白，原來生活中的實物可以用圖形來表示，而且還可以縮小一定的比例，從而幫助學(xué)生抽象出幾何圖形。

第二個視覺沖擊是學(xué)生自己在實物中尋找周長，找一找生活中的物體，說說它某一個面的周長。讓學(xué)生主動完成從實物到圖形的抽象過程。理解原來我們學(xué)的周長，在生活的物體中到處都是。

課堂資源是有限的，屏幕可以呈現(xiàn)的資源是無限的，但是僅僅是屏幕給學(xué)生的感覺卻并不真實。因此從屏幕到實物進(jìn)行視覺轉(zhuǎn)化，能夠幫助學(xué)生主動完成抽象的建構(gòu)過程，發(fā)展思維。

2. 從圖形到實物，視覺想象中做到聯(lián)想

要從一個幾何圖形想象出實際物體，也可以認(rèn)為是一種視覺想象。我們可以通過從圖形到實物，幫助學(xué)生在視覺想象中聯(lián)想到幾何圖形。

“周長的認(rèn)識”一課在學(xué)生指了許多實物的周長后，教師出示一個圓形，問：“你覺得這個圖形有可能是在求我們生活中哪些物體的周長？”

短暫的沉默后，學(xué)生暢所欲言，有月餅、硬幣、月亮、太陽、籃球……當(dāng)教師出示一個人在量腰圍的情境圖時，學(xué)生有種“山外有山”的驚嘆，緊接著頭圍、運動軌跡、赤道長等也應(yīng)運而生。

第三個視覺沖擊，是最后拓展環(huán)節(jié)“一分為二”。一個長方形把它一分為二，使兩部分周長一樣，你有幾種分法？一開始學(xué)生的作品都是分為面積相等的兩部分，周長也一樣相等。當(dāng)教師出示這樣一幅圖時，引發(fā)了學(xué)生的爭議：看起來明顯不一樣的兩塊圖形，為什么周長偏偏相等呢？

在這樣的視覺沖擊中，通過對比、位移，讓學(xué)生從周長的本質(zhì)出發(fā)來思考，發(fā)現(xiàn)兩個圖形的周長果然是一樣的。再讓學(xué)生創(chuàng)造方法就一點都不難了。

綜上所述，小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)，要聚焦概念本質(zhì)的學(xué)習(xí)，努力讓環(huán)節(jié)目標(biāo)指向本質(zhì)，教學(xué)內(nèi)容指向多維，教學(xué)方法指向經(jīng)歷，從而錘煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生的思維能力。

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（浙江省杭州市富陽區(qū)富春第八小學(xué) 311400）