例談一類齊次不等式的解法策略

江蘇省揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(225002) 劉銘鑫 濮安山

不等式問(wèn)題作為高考的熱點(diǎn)問(wèn)題,信息少,難度高,如何在較短的時(shí)間內(nèi)發(fā)現(xiàn)規(guī)律,從而找到合適的解法策略,一直是眾多學(xué)生所追求的.從某市最近的幾次?？贾胁浑y看出,大多數(shù)學(xué)生在解答有關(guān)齊次不等式求最值問(wèn)題時(shí),方法單一,思路欠缺,得分率較低.筆者通過(guò)對(duì)近幾年齊次不等式解法的探究歸納,以此期望幫助學(xué)生對(duì)此類問(wèn)題形成清晰的表象特征,豐富其解題策略,提高其綜合解題能力.

策略一 因式分解與換元

例1 已知a,b∈R,滿足a2?ab?2b2=1,求a2+b2的最小值____.

其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)取得.

分析對(duì)于給定的等式,我們要善于從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律,以這種規(guī)律作為突破口,建構(gòu)起解題思路.通過(guò)觀察,等式的左邊可以進(jìn)行因式分解,并且兩個(gè)因式的乘積為一個(gè)定值,聯(lián)想到基本不等式中的和積互化,我們進(jìn)行換元,并且可以將a2+b2反代換成關(guān)于x和y的一個(gè)表達(dá)式,進(jìn)一步利用基本不等式,原式得到解決.

相關(guān)習(xí)題

習(xí)題1 (2018揚(yáng)州市二模理科第12題)已知a,b∈R,a＞b,若2a2?ab?b2?4=0,則2a?b最小值為_(kāi)___.

習(xí)題2 已知x,y∈R,滿足x2?xy+y2=1,求x2?y2的最值___.

策略二 均值縮放

例2 已知x＞0,y＞0,滿足4x2?xy+y2=25,求3x2+y2的最大值___.

解由4x2?xy+y2=25得

分析我們知道,利用均值不等式是解決一類不等式的重要方法和途徑,而均值不等式是關(guān)于所有變?cè)凝R次不等式(整式不等式或等式的所有項(xiàng)的次數(shù)相等,或分式不等式的分子、分母所有項(xiàng)的次數(shù)都相等).[1]在此基礎(chǔ)上觀察條件和結(jié)論,發(fā)現(xiàn)前后所有變?cè)拇螖?shù)相等,可以進(jìn)行一次放縮,先將xy構(gòu)造成有關(guān)x2和y2的表達(dá)式,但通過(guò)嘗試我們發(fā)現(xiàn)直接利用基本不等式所得到的有關(guān)x2和y2的表達(dá)式,并非是我們所要求的,因此將原式稍加改變,添加一個(gè)參數(shù)λ,利用待定系數(shù)法,先擴(kuò)張,再化簡(jiǎn),進(jìn)而利用問(wèn)題中的倍數(shù)關(guān)系求出系數(shù),問(wèn)題得以解決.

相關(guān)習(xí)題

習(xí)題3 已知a＞0,b＞0,a2+2b2=ab+3,求a2+b2的最大值是___.

習(xí)題4 已知正實(shí)數(shù)x、y滿足2x2+2y2?xy=1,求3x2+4y2的取值范圍是____.

策略三 三角換元

例3 已知4x2?xy+y2=25,求3x2+y2的取值范圍是____.

分析通過(guò)對(duì)原式的觀察,發(fā)現(xiàn)原式的左邊并不能因式分解,故策略一不能使用,對(duì)比例二,變?cè)姆秶](méi)有限定,故不滿足策略二縮放的要求.回顧題目,這是一道有關(guān)平方和的問(wèn)題,可以抽象拓展到三角函數(shù)的平方和上,也就是我們俗稱的三角換元法,原式轉(zhuǎn)變?yōu)橛嘘P(guān)R和θ的等式,其中R2可以單獨(dú)提出來(lái),這也是我們所要求解的,原問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)橐坏廊呛瘮?shù)求最值問(wèn)題,接下來(lái)利用三角恒等變換、二倍角公式等,思路逐漸清晰.

相關(guān)習(xí)題

習(xí)題5 已知實(shí)數(shù)x,y,滿足2x2+2y2?xy=1,求3x2+4y2+2xy的取值范圍是____.

習(xí)題6 若a＞0,b＞0,且4a2+b2=4ab+1,則a2+3b2的最大值為_(kāi)___.

策略四 “1”的代換

例4 (2018年揚(yáng)州高三期末第13題)已知x＞0,y＞0,且5x2+4xy?y2=3,求12x2+8xy?y2的最小值.

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)m=3即時(shí)取到.

分析學(xué)生在學(xué)習(xí)三角函數(shù)恒等變換時(shí)初步接觸過(guò)“1”的代換,常常通過(guò)它來(lái)構(gòu)造出有關(guān)正切函數(shù)的表達(dá)式.類比三角函數(shù),我們推廣到更廣泛的齊次恒等式,通過(guò)代換,同樣可以構(gòu)造出一個(gè)形如的分式方程,進(jìn)而換元,未知量個(gè)數(shù)減少到一個(gè),分式方程的分子分母未知量最高次數(shù)都是二次,因此進(jìn)行裂項(xiàng),分離出分子中有關(guān)t2的項(xiàng),進(jìn)而對(duì)剩下的一次項(xiàng)再換元,之后上下同時(shí)除以m,一個(gè)基本不等式便可以構(gòu)造出來(lái).在來(lái)回代換的過(guò)程中,變?cè)娜≈捣秶陵P(guān)重要,影響到最終能否取到等號(hào),所以一定要來(lái)回審視題目,分析清楚.

相關(guān)習(xí)題

習(xí)題7 已知a＞0,b＞0,且a2+2b2=ab+3,則a2+b2的最大值___.

策略五 判別式

例5 已知實(shí)數(shù)x、y滿足2x2+2y2?xy=1,求3x2+4y2取值范圍是___.

解設(shè)

即t(2x2+2y2?xy)=3x2+4y2,化簡(jiǎn)得(2t?3)x2?tyx+2ty2?4y2=0,因?yàn)閤要有解,所以?≥0,即

所以t2?4(2t?3)(2t?4)≥ 0,即(3t?4)(5t?12)≤0,解得所以3x2+4y2的取值范圍是

分析判別式法類似于“1”的代換,因?yàn)閤、y的正負(fù)性未知,所以不能直接進(jìn)行換元求解,聯(lián)想到函數(shù)中根的分布問(wèn)題,那我們可以將分式中的分母乘到等式左邊去,構(gòu)造成一個(gè)關(guān)于x的二次函數(shù),因?yàn)閤的范圍是R,故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等式在R上有解,即關(guān)于x的二次函數(shù)圖象與x軸有交點(diǎn)問(wèn)題,在計(jì)算?≥0的過(guò)程中,發(fā)現(xiàn)y2可以提出來(lái),進(jìn)而轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼鈚2?4(2t?3)(2t?4)≥0,求得的的范圍也就是問(wèn)題所要求的.在這個(gè)過(guò)程中我們發(fā)現(xiàn)y的取值對(duì)于解題并沒(méi)有影響,因此不妨令y=1,這樣解題步驟更簡(jiǎn)潔,思路更明朗.

相關(guān)習(xí)題

習(xí)題8 已知x,y∈R,x2+xy+y2=6,求z=x2+y2的取值范圍___.

總結(jié)解齊次不等式的題目重在找出變量之間的關(guān)系,把握這種關(guān)系,并與學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)相關(guān)聯(lián),架構(gòu)出合理的解題思路,因此需要學(xué)生對(duì)必修一到必修五能做到心中有數(shù),理清知識(shí)的脈絡(luò),教師要重視幫助學(xué)生對(duì)不等式解題策略進(jìn)行提煉、總結(jié)與反思,并在學(xué)生實(shí)際完成的情況下,有針對(duì)性的強(qiáng)化練習(xí),課堂、課后給足時(shí)間讓學(xué)生進(jìn)行一題多解的訓(xùn)練,這樣,方能做到“以不變應(yīng)萬(wàn)變”.