巧妙利用“基本不等式”解決橢圓中三角形面積的最值問題

安徽省寧國(guó)中學(xué)(242399) 湯生兵

題目1 如圖1所示,橢圓C:x2+3y2=3b2(b＞0).

圖1

(1)求橢圓的離心率.

(2)若b=1,A,B是橢圓C上兩點(diǎn),且求△AOB面積的最大值.

解(1)略.(2)方法1 (常規(guī)解法)若直線AB斜率不存在,即AB⊥x軸時(shí),則若直線AB斜率存在時(shí),設(shè)AB方程為y=kx+m,從而

接下來(lái)找k和m的關(guān)系,因?yàn)?/p>

由①,②可知,

方法2 (基本不等式)

大家不難發(fā)現(xiàn),方法2巧妙利用了基本不等式解決面積最大值,是否存在“巧合”,接下來(lái)進(jìn)行一般化,驗(yàn)證是否仍然可以用.

題目2 已知橢圓點(diǎn)A,B為橢圓上兩點(diǎn),求△AOB面積的最大值.

解若直線AB斜率不存時(shí),設(shè)AB=h,則于是

當(dāng)h2=2b2時(shí),

若直線AB斜率存時(shí),設(shè)AB方程為y=kx+m,從而

又因?yàn)?/p>

有些學(xué)生會(huì)感到吃驚,基本不等式很神奇,其實(shí)此類題型利用基本不等式有前提條件,即它的分子必須是|m|,才能平方后與后面?m2相互抵消,等價(jià)于三角形必須有個(gè)頂點(diǎn)在原點(diǎn),其它情況都不可以用,并且我們得到一個(gè)很好的結(jié)論S△AOB的最大值為以后遇到小題就可以秒殺,相當(dāng)?shù)陌詺?接下來(lái)利用上面結(jié)論解決題目3.

題目3 已知橢圓E:點(diǎn)A,B為橢圓上兩點(diǎn),△AOB的面積為設(shè)直線OA,OB的斜率分別為k1,k2,求k1·k2的值.

解設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),于是

由題目2可知:

又因?yàn)?/p>

總結(jié)通過上面三個(gè)題目,只要△AOB有一個(gè)頂點(diǎn)為原點(diǎn),就可以用基本不等式求出它的最大值為若三個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上,初等數(shù)學(xué)很難解決,只能用高等數(shù)學(xué)將橢圓壓縮變換為單位圓去解決,得到最大值為就不一一闡述了.