一道不等式習(xí)題的證法探究

湖南省會(huì)同縣第一中學(xué)(418300) 唐鵬久 于先金

題目(《不等式選講》4-5人教B版第24頁(yè)練習(xí)第3題)已知a,b,c是任意實(shí)數(shù),求證:a2+b2+c2≥ab+bc+ca.

這是一個(gè)關(guān)于a,b,c結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)潔、對(duì)稱優(yōu)美、應(yīng)用廣泛的經(jīng)典不等式,探究這個(gè)不等式的證法是一件有意義的工作,并使我們體會(huì)到數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)單美、對(duì)稱美、和諧美和奇異美.

一、利用重要不等式,感受簡(jiǎn)單美

所謂簡(jiǎn)單美,是指一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題的簡(jiǎn)單解法.它是優(yōu)化解題思路的內(nèi)在驅(qū)動(dòng)力因素之一.正如高斯對(duì)自己的工作的評(píng)價(jià):“去尋求一種最簡(jiǎn)的證明,乃是吸引我去研究的主要?jiǎng)恿?”也就是說(shuō),數(shù)學(xué)美是指追求最容易、最清楚而且更經(jīng)濟(jì)的方法來(lái)解題.數(shù)學(xué)美,美在簡(jiǎn)單、明了.

證法1 (巧妙配湊,簡(jiǎn)單明了)因?yàn)樗栽坏仁匠闪?

證法2 (柯西登場(chǎng),良性互動(dòng))由柯西不等式,得

從而

所以原不等式成立.

證法3 (排序原理,意外驚喜)由對(duì)稱性,不妨假設(shè)a≤b≤c,由排序不等式:“順序和”≥“亂序和”,得

即a2+b2+c2≥ab+bc+ca,故原不等式成立.

二、恒等變形,感受對(duì)稱美

對(duì)稱是最能給人以美感的一種形式.正如德國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家魏爾說(shuō):“美和對(duì)稱緊密相關(guān).”對(duì)稱不外乎局部與局部的對(duì)稱,幾何圖形與數(shù)學(xué)關(guān)系都存在這種對(duì)稱.體現(xiàn)形結(jié)構(gòu)與數(shù)(式)結(jié)構(gòu)的對(duì)稱是對(duì)稱美,已知與結(jié)論的對(duì)稱使解題者感到愉悅.本題中的條件和結(jié)論都關(guān)于a,b,c對(duì)稱,由對(duì)稱性啟發(fā),可得不同的證法.數(shù)學(xué)美,美在對(duì)稱、整齊.

證法4 (作差配方,一目了然)因?yàn)?/p>

所以原不等式成立.

評(píng)注這種作差法,即作差—變形—定號(hào)的過(guò)程體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.

證法5 (恒等變形,配方分解)由對(duì)稱性,不妨設(shè)a≤b≤c,那么

所以原不等式成立.

證法6 (借行列式,殊途同歸)由對(duì)稱性,不妨設(shè)a≤b≤c,那么

所以原不等式成立.

三、確定主元,感受和諧美

和諧美或稱統(tǒng)一美,是指部分與部分之間、部分與整體之間的和諧一致,是指在不同的數(shù)學(xué)對(duì)象或同一對(duì)象的不同組成部分之間所存在的內(nèi)在聯(lián)系或共同規(guī)律.統(tǒng)一性是數(shù)學(xué)美的重要標(biāo)志,是數(shù)學(xué)家不懈追求的永恒目標(biāo),也是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)造的美學(xué)方法之一.所以在數(shù)學(xué)解題中的信息轉(zhuǎn)換、分合并用、進(jìn)退互化、正反相輔等方面都能暢通無(wú)阻,轉(zhuǎn)化為更加協(xié)調(diào)的形式,化歸為已經(jīng)解決的問(wèn)題.所以和諧美既是條件與結(jié)論的和諧,又是數(shù)與形的和諧,更是解題方法與思維策略的和諧,還是數(shù)學(xué)思想與思維途徑的和諧.數(shù)學(xué)美,美在和諧、統(tǒng)一.

證法7 (為主元,配方顯然)因?yàn)?/p>

所以原不等式成立.

證法8 (構(gòu)造二次,判別式法)將

視為變量a的二次式,因其判別式

所以a2?(b+c)a+(b2+c2?bc)≥0,故原不等式成立.

證法9 (構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù))由對(duì)稱性,不妨設(shè)a≤b≤c,令

由于f′(c)=2c?(a+b)≥0,于是函數(shù)f(c)在區(qū)間[b,+∞)上是增函數(shù).由c≥b,f(b)=b2?(a+b)b+(a+b?ab)=a+b?2ab=(a?b)2≥0,得f(c)≥f(b)≥0,所以原不等式成立.

四、證法新穎,感受奇異美

奇異與突變是一種奇特的數(shù)學(xué)美.奇異美是指所得出的結(jié)果新穎、獨(dú)特、奇特、出人意料,使人感到驚奇、贊賞與折服.徐利治教授說(shuō):“奇異是一種美,奇異到極度更是一種美.”在數(shù)學(xué)解題中,奇異性的存在使得構(gòu)造反例、尋求特例、反證、極端等手法能夠發(fā)揮出乎意料的作用,正難則反、以退求進(jìn)、逆向思維、發(fā)散思維等可以認(rèn)為是對(duì)奇異性的通俗理解.數(shù)學(xué)美,美在奇異、突變.

證法10 (增量換元,柳暗花明)由對(duì)稱性,不妨設(shè)a≤b≤c,令b=a+x,c=a+y,所以由對(duì)稱性,y≥x≥0.由

所以原不等式成立.

證法11 (構(gòu)造向量,精彩呈現(xiàn))令m=(a,b,c),n=(b,c,a),因?yàn)閨m|·|n|≥m·n,所以故原不等式成立.

證法12 (三角換元,膽大心細(xì))因?yàn)?/p>

所以不妨設(shè)a,b,c≥0.令a2+b2+c2=r2(r≥0),所以可設(shè)所以

這個(gè)不等式的以上證法,真是“橫看成嶺側(cè)成峰,遠(yuǎn)近高低各不同”,從不同的視角有不同的證法,各顯神通.數(shù)學(xué)有味,數(shù)學(xué)好玩.

在數(shù)學(xué)解題中,數(shù)學(xué)美能給我們一種認(rèn)識(shí)題意、探求思路、發(fā)現(xiàn)解法的新角度、新方法和新思路,因而數(shù)學(xué)美是探求思路、發(fā)現(xiàn)解法的源泉.簡(jiǎn)單美、對(duì)稱美、和諧美和奇異美等數(shù)學(xué)美的各種表現(xiàn)形式在解題中不是孤立的,而是相互結(jié)合、相互滲透的.我們不僅要善于發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美,而且要自覺(jué)運(yùn)用數(shù)學(xué)美和追求數(shù)學(xué)美.