對一道柯西不等式證明題的再次探究

廣東省華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(510631) 李仁旗

柯西不等式的解法研究不僅在高等數(shù)學(xué)中應(yīng)用廣泛,在中學(xué)數(shù)學(xué)競賽題中也是時常出現(xiàn).它的結(jié)構(gòu)獨(dú)特、對稱而優(yōu)美,學(xué)者和研究人員很喜歡使用它.在各種各樣的競賽試題中,如果能夠靈活巧妙地使用柯西不等式,那么許多有關(guān)不等式的問題,看起來比較復(fù)雜,實(shí)際上可以迎刃而解.

筆者最近一直在學(xué)習(xí)和研究柯西不等式,偶然間發(fā)現(xiàn)本刊2017年第1期下半月版中《柯西不等式的多種變式及其應(yīng)用》一文,文中例6的證明過程吸引了筆者的注意力.

(一)例題展示

該例題題目及證明過程如下:

例6 設(shè)0≤x≤13,求證:

證明令則a2=x+27,b2=13?x,c2=x,于是有a2+2b2+c2=x+27+2×(13?x)+x=53,原題目可以轉(zhuǎn)化為“已知a2+2b2+c2=53,求a+b+c的最值”問題.構(gòu)造系數(shù)因子有又因?yàn)閍,b,c≥ 0,所以有a+b+c≤又因?yàn)樗杂泄食闪?

(二)定理引入

在剖析本例的解題思路之前,我們先引入柯西不等式:

引理對任意的實(shí)數(shù)a1,a2,···,an及b1,b2,···,bn有

例6中應(yīng)用到的是三元柯西不等式,即:對任意的實(shí)數(shù)a1,a2,a3及b1,b2,b3有(a1b1+a2b2+a3b3)2,其中等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立,其中λ∈R.

(三)例題剖析

了解了柯西不等式的具體內(nèi)容,我們再來分析一下例6的證明過程.

再來看

這一步,等號成立的條件是a=c=0,即同樣矛盾.即不存在指定范圍內(nèi)x的值滿足也就是說結(jié)論中的兩個等號均不成立.

(四)例題改編

既然如此,筆者認(rèn)為例6稍作更改可能更為妥當(dāng),例題改編如下:

例6 S求函數(shù)的最大值和最小值.

解由題知函數(shù)y的定義域?yàn)閇0,13],因?yàn)?/p>

當(dāng)x=0時等號成立,故y的最小值為又由柯西不等式得所以y≤11.由柯西不等式成立的條件得4x=9(13?x)=x+27,解得x=9,故當(dāng)x=9時等號成立,因此y的最大值為11.

(五)點(diǎn)評對比

下面我們就兩題的解題思路作一下點(diǎn)評和對比:

(2)應(yīng)用柯西不等式求最大值時,注意參照變量的系數(shù)來湊系數(shù),從而達(dá)到消去變量的目的.本例中,觀察三個根式可知,三者平方后湊系數(shù)時需滿足,13?x的系數(shù)最大,x的其次,x+27的系數(shù)最小.

(3)通過對比可以發(fā)現(xiàn),

顯然,結(jié)論

(4)例6S中,應(yīng)用柯西不等式

這一步極為巧妙,通過放縮消去變量,同時等號成立時存在對應(yīng)的x的值.但換一種放縮方法就沒有那么“幸運(yùn)”了,比如:

等號成立時x+27=16(13?x)=9x,顯然x無解.

同樣是利用放縮法消去未知量,但得到的最大值大于11,并且不存在對應(yīng)的x的值.那么,在消去變量過程中能不能準(zhǔn)確快速的湊系數(shù)呢?

(六)深入探究

筆者經(jīng)過思考,決定如下探究:

設(shè)a,b,c＞0,同時結(jié)合柯西不等式得

湊系數(shù)時應(yīng)滿足

等號成立的條件為

聯(lián)立(1)(2)得到關(guān)于a,b,c,x的四元方程,但只有三個方程式,觀察式(2)由x∈[0,13]知,a＜c＜b,不妨令a=1,則有得到一元四次方程

解方程可以得到c=2,于是b=3,x=9,此時y=11,故y≤11.

使用該方法湊系數(shù)時引入未知數(shù)較多,計(jì)算量比較大,涉及到的一元四次方程的解答偏難,具體方法這里就不做介紹.取“a=1”這一步是可行的,湊巧的是計(jì)算出b,c,x均為正整數(shù).雖然本例運(yùn)用柯西不等式可以求出函數(shù)的最大值和最小值,但如何快速湊系數(shù)確實(shí)有難度,因?yàn)闇愊禂?shù)后不僅需要消去未知量,更需要檢查此時“等號”成立的條件.

柯西不等式及其變式在各種競賽試題中時常出現(xiàn),本文就一道例題探究了柯西不等式的一種應(yīng)用技巧—湊系數(shù).有時為了應(yīng)用柯西不等式,如何在放縮過程中消去未知量,并且滿足柯西不等式“等號”成立的條件?如同本例中的三元柯西不等式一樣,直接湊系數(shù)雖然來的巧妙,但需要“豐富的想象力”,不然就得用一般化的方法,“待定系數(shù)”,然后陷入大量的計(jì)算中,畢竟高次方程的解答并非比較簡便.

致謝筆者特別需要感謝吳康教授、尤利華教授、鐘進(jìn)均老師在論文寫作方面的指導(dǎo).