兩函數(shù)公切線問(wèn)題

云南省玉溪第一中學(xué)(653100) 武增明

函數(shù)圖象的切線問(wèn)題,一直是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容,兩個(gè)函數(shù)圖象的公切線問(wèn)題,內(nèi)涵豐富,是高考命題的一個(gè)新熱點(diǎn).這兩類問(wèn)題求解數(shù)學(xué)思想是一致的,主要是化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想.求解方法也是一致的,主要是:設(shè)出切點(diǎn),利用切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為切線的斜率,利用切點(diǎn)在切線上和曲線上聯(lián)立方程組求解.但是,兩個(gè)函數(shù)圖象的公切線問(wèn)題要比一個(gè)函數(shù)圖象的切線問(wèn)題復(fù)雜得多,靈活得多,難度大得多.下面筆者通過(guò)具體實(shí)例,歸納、總結(jié)兩函數(shù)圖象的公切線問(wèn)題的類型及求解思想方法.

設(shè)曲線C1:y=f(x)在點(diǎn)A(x1,f(x1))處的切線為l1:y?f(x1)=f′(x1)(x?x1),整理得y=f′(x1)·x?f′(x1)·x1+f(x1).設(shè)曲線C2:y=g(x)在點(diǎn)B(x2,g(x2))處的切線為l2:y?g(x2)=g′(x2)(x?x2),整理得y=g′(x2)·x?g′(x2)·x2+g(x2).由于l1與l2是相同的直線,故有x1=g(x2)?g′(x2)·x2.從而可以求出公切線方程.

從上述分析我們還可以看出,曲線C1:y=f(x)與曲線C2:y=g(x)公切線的條數(shù)等價(jià)于該方程組解的個(gè)數(shù).

1 求公切線方程

例1 函數(shù)的圖象和函數(shù)y=3x3的圖象的公切線方程為____.

解設(shè)兩函數(shù)圖象的公切線的斜率為k,公切線與曲線切于點(diǎn)與曲線y=3x3切于點(diǎn)則所以

由兩函數(shù)的圖象知,x1與x2同號(hào),即x1x2＞0,所以所以

解得

所以k=9,切點(diǎn)為(1,3),所以切線方程為y?3=9(x?1),即9x?y?6=0.

例2 曲線x2=ky與曲線y=lnx的公切線方程為___.

簡(jiǎn)解

評(píng)注(1)若k＞2e,則關(guān)于x的方程有兩個(gè)不等實(shí)根,那么兩曲線相交,從而兩曲線沒(méi)有公切線(由兩函數(shù)的圖象知),故k=2e.

(2)由上述解答知,兩曲線相切,公切線的切點(diǎn)就是兩曲線相切的切點(diǎn).

(4)上述例1的方法對(duì)于例2失效!

2 求公切線方程中參數(shù)的值

例3 (2016年高考全國(guó)卷II理科第16題)若直線y=kx+b是曲線y=lnx+2的切線,也是曲線y=ln(x+1)的切線,則b=____.

解設(shè)直線y=kx+b與曲線y=lnx+2相切于點(diǎn)A(x1,lnx1+2).由y=lnx+2 得因此該切線可以表示成整理得同理,設(shè)直線y=kx+b與曲線y=ln(x+1)相切于點(diǎn)B(x2,ln(x2+1)).由y=ln(x+1)得因此該切線還可以表示成整理得因此有

3 確定函數(shù)中參數(shù)的取值

例4 已知曲線y=x2?lnx在點(diǎn)(1,1)處的切線與曲線y=ax2+(a+2)x+1也相切,則a=____.

解因?yàn)榍€y=x2?lnx在點(diǎn)(1,1)處的切線的斜率為1,所以曲線y=x2?lnx在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為y=x.因?yàn)閥=x與曲線y=ax2+(a+2)x+1相切,所以方程ax2+(a+2)x+1=x有一個(gè)實(shí)數(shù)根,即ax2+(a+1)x+1=0有唯一解,故? =0,即(a+1)2?4a=0,解得a=1.

例5 已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與曲線C1:y=x3,C2:y=x2+3x+a均相切,則實(shí)數(shù)a的值為____.

解設(shè)直線l與C1相切于點(diǎn)(x0,y0),而y′=3x2,則切線為它經(jīng)過(guò)點(diǎn)有解得x0=0或x0=1.所以切線為y=0或y=3x?2.由得x2+3x+a=0,?=9?4a=0,故由得x2+a+2=0,?=0?4(a+2),所以a=?2,故a的值為或?2.

4 求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍

例6 若曲線C1:y=x2與曲線C2:y=aex(a＞0)存在公共切線,則a的取值范圍是____.

解設(shè)公切線與曲線C1切于點(diǎn)與曲線C2切于點(diǎn)又由曲線C1得y′=2x,曲線C2得y′=aex,所以將aex2=2x1代入化簡(jiǎn)可得2x2=x1+2.所以因?yàn)閍＞0,所以x2＞1,記得所以f(x)在(1,2)上遞增,在(2,+∞)上遞減,所以f(2)是f(x)的最大值,故a的取值范圍是

例7 已知曲線y=ex+a與y=(x?1)2恰好存在兩條公切線,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(?∞,2ln2+3) B.(?∞,2ln2?3)

C.(2ln2?3,+∞) D.(2ln2+3,+∞)

解y=ex+a的導(dǎo)數(shù)是y′=ex+a,y=(x?1)2的導(dǎo)數(shù)是y′=2(x?1).設(shè)兩條曲線的公切線與曲線y=ex+a相切的切點(diǎn)為(m,n),則n=em+a,與曲線y=(x?1)2相切的切點(diǎn)為(s,t),則t=(s?1)2.公切線的斜率應(yīng)滿足由em+a＞0,可得s＞1.所以由可得所以由2(s?1)=em+a,可得令則由f′(s)＜0,得s＞3,由f′(s)＞0,得 1＜s＜3,所以f(s)在(1,3]上單調(diào)遞增,在[3,+∞)上單調(diào)遞減,所以f(s)在s=3處取到最大值f(3)=2ln2?3.若兩曲線恰好存在兩條公切線,則關(guān)于s的方程有兩解,所以a＜2ln2?3,所以a的取值范圍是(?∞,2ln2?3).故選B.

評(píng)注解答此類問(wèn)題的思路是,從切線重合(即同一條切線)得到兩切點(diǎn)的關(guān)系,轉(zhuǎn)化所求變量與其中一個(gè)切點(diǎn)變量的函數(shù)關(guān)系,運(yùn)用化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想,構(gòu)造函數(shù),并注意函數(shù)自變量的范圍,通過(guò)求導(dǎo)確定函數(shù)單調(diào)性,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想,得到函數(shù)值域也即所求參數(shù)的取值范圍.

5 求切點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍

例8 已知函數(shù)f(x)=x2的圖象在點(diǎn)(x0,x20)處的切線為l,若l也與函數(shù)y=lnx,x∈(0,1)的圖象相切,則x0必滿足()

解析由題意,得f′(x)=2x,所以f′(x0)=2x0,所以切線l的方程為

因?yàn)閘也與函數(shù)y=lnx(0＜x＜1)的圖象相切,設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為 (x1,lnx1),易知?jiǎng)t切線l的方程為則有又由于0＜x1＜1,所以x0＞1,所以x0∈(1,+∞).令g(x)=x2?ln2x?1,x∈(1,+∞),則所以g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,又所以存在使得g(x0)=0,故選D.

6 判斷公切線的條數(shù)

例9 已知函數(shù)f(x)=x2+2(1?a)x?4a,g(x)=討論f(x)和g(x)圖象的公切線條數(shù).

圖1

解f′(x)=2x+2(1?a),設(shè)公切線與f(x)相切于點(diǎn)A(m,m2+2(1?a)m?4a),則切線方程為

7 探究是否存在公切線

例10 已知函數(shù)f(x)=ex,g(x)=lnx是否存在直線l,使得l同時(shí)是函數(shù)f(x),g(x)的切線?說(shuō)明理由.

解假設(shè)存在直線l同時(shí)是函數(shù)f(x),g(x)的切線,設(shè)l與f(x),g(x)分別相切于點(diǎn)M(m,em),N(n,lnn),則l:y?em=em(x?m)或從而

要討論l是否存在,只需判定上述方程組是否有解?

例11 設(shè)函數(shù)

(1)求f(x)的極大值;(2)試探究函數(shù)F(x)=x3f′(x)+與函數(shù)g(x)的圖象在其公共點(diǎn)處是否存在公切線?若存在,研究k的值的個(gè)數(shù);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

解(1)從略.(2)由于

假設(shè)函數(shù)F(x),g(x)的圖象在其公共點(diǎn)(x0,y0)處存在公切線,因?yàn)橛蒄′(x0)=即故又函數(shù)的定義域?yàn)?0,+∞),當(dāng)k≤ 0時(shí),所以函數(shù)F(x)與g(x)的圖象在其公共點(diǎn)處不存在公切線.當(dāng)k＞0時(shí),令即