例談三角換元法在解題中的運(yùn)用

廣東省廣州市第六中學(xué)(510300) 璩 斌

三角換元法以三角公式為依托,利用三角函數(shù)的性質(zhì),將復(fù)雜問題移至新對象知識背景中,使復(fù)雜的問題簡單化,使非標(biāo)準(zhǔn)問題標(biāo)準(zhǔn)化,將問題中分散的條件聯(lián)系在一起,將問題中隱含的條件顯示出來,將問題中的條件與結(jié)論聯(lián)系起來,將抽象的問題轉(zhuǎn)變?yōu)榫唧w的問題.

一、解讀三角換元法在解題中的運(yùn)用價值

三角換元法指用一個三角變量代替某個可以看成一個整體的復(fù)雜式子,可使問題簡化.作為數(shù)學(xué)解題中的常見的換元技巧,三角換元法利用已知代數(shù)值和三角知識中存在的聯(lián)系進(jìn)行換元.應(yīng)用三角換元法將代數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)槿呛瘮?shù),其關(guān)鍵在于構(gòu)造元與設(shè)元,合理的三角換元能夠?qū)崿F(xiàn)化繁為簡、化難為易,獲得一種簡潔優(yōu)美的解題方法.

三角換元法利用三角函數(shù)的有界性,三角函數(shù)的性質(zhì),三角公式之間的聯(lián)系等特點(diǎn),充分利用題設(shè)信息,通過聯(lián)想類比等方式,將高次轉(zhuǎn)化為低次,將分式轉(zhuǎn)化為整式,將超越式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式,將無理式轉(zhuǎn)化為有理式進(jìn)行解題.巧妙運(yùn)用三角換元法解方程、不等式、數(shù)列、函數(shù)、三角等問題,可以加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識之間的縱橫聯(lián)系,鞏固基礎(chǔ)知識與基本解題技能,還有助于提高數(shù)學(xué)運(yùn)算能力與思維能力.

二、三角換元法在解題中的運(yùn)用舉例

應(yīng)用三角換元法解決問題時,首先需要將原問題中未知量、未知量代數(shù)式等用新的變量進(jìn)行替換,使原來的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為含有新變量的新問題,通過三角換元法實(shí)現(xiàn)代數(shù)問題向三角函數(shù)值域問題的轉(zhuǎn)化,實(shí)現(xiàn)化繁為簡、化曲為直.

1.巧用三角換元,解根式問題.

應(yīng)用三角換元法求解本題的關(guān)鍵在于平方關(guān)系,將函數(shù)化無理式為有理式,從所求式子中巧妙構(gòu)造出平方和與差為1的式子,根據(jù)函數(shù)的定義域,就可以給出角的適當(dāng)范圍,將其轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)在已知區(qū)間上的問題進(jìn)行求解.

例1 求的值域.

方法1 由題意可知,4≤x≤6,當(dāng)4＜x＜6時,對y=f(x)求導(dǎo),得

令y′=0解得x=4.5,在[4,4.5)函數(shù)單調(diào)遞增;在(4.5,6]函數(shù)單調(diào)遞減,故當(dāng)x=4.5時函數(shù)取得最大值而當(dāng)x=4時,時由函數(shù)的連續(xù)性可知

方法2 分析:利用sin2a=1?cos2a,令x=4+2sin2a進(jìn)行三角換元去根式.定義域?yàn)?≤x≤ 6,設(shè)x=4+2sin2a,所以所以當(dāng)時,y的最大值當(dāng)時y取最小值

例2 求的值域.

方法1 由題意可得,0≤x≤2,當(dāng)0＜x＜2時,對y=f(x)求導(dǎo),得令y′=0解得且在 (0,x1)、(x2,2)處函數(shù)單調(diào)遞減;在(x1,x2)單調(diào)遞增,因此當(dāng)x=x1時函數(shù)極小值為時函數(shù)取得極大值為而當(dāng)x=0時,y=1;x=2時,y=5,由函數(shù)的連續(xù)性可知

方法2 分析:由題意令1?x=cosa進(jìn)行三角換元去根式.

總結(jié)在上兩道例題中,采用了兩種解答方法:方法1是通過對函數(shù)求導(dǎo)研究其單調(diào)性進(jìn)而求出函數(shù)的值域的,屬于高考常用的方法;而方法2則是運(yùn)用了三角換元法.使用方法1需要先求導(dǎo)解出駐點(diǎn),再進(jìn)一步分析出不同區(qū)間的單調(diào)性進(jìn)而求出最值,而方法2的三角換元法進(jìn)行了一次代換以后使用合一公式就可以直接看出最值了,和方法1相比,不僅更容易計算,并且繞過了對單調(diào)區(qū)間的分析,直接求出了最值.在后面的例題中我們直接介紹使用三角換元法.

例3 如果x,y,z＞1且證明:

分析利用進(jìn)行三角換元.

證明設(shè)且α,β,γ為銳角,則

由已知可得cos2α+cos2β+cos2γ=2,即sin2α+sin2β+sin2γ=1.轉(zhuǎn)化為證明

由柯西不等式可證

所以原不等式成立.

例4 已知x,y都是正數(shù),且x?y= 1,求證:0＜A＜1.

分析從x?y=1這一特征聯(lián)想到sec2α?tan2α=1,可以采用三角換元.

證明設(shè)x=sec2α,y=tan2α,其中于是

當(dāng)題中出現(xiàn)x?y=a(x,y,a＞0)時,可設(shè)x=asec2α,y=atan2α其中在形如中,可設(shè)x=acosα,其中α∈[0,π],或設(shè)x=asinα,其中在形如中,可設(shè)x=asecα,其中

2.利用三角恒等式換元

主要是通過三角函數(shù)恒等變換,使函數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化為三角的函數(shù)形式,借助三角換元法來解決,如等.

例5 解方程組

分析由聯(lián)想到可以采用三角換元法.

解由(1)知x,y,z同號,不妨先考慮它們都是正數(shù)的情形,令且α,β,γ∈(0,π),由于

α,β,γ是某個三角形的三個內(nèi)角,且它的三邊之比為3:4:5,勾股數(shù),由上式可知,sinγ=1,從而若x,y,z都是負(fù)數(shù),用同樣的方法可求得即原方程組的解是

3.應(yīng)用萬能公式進(jìn)行三角換元

例7 求的最值.

分析函數(shù)的解析式可變形為

當(dāng)sin4θ=1時,當(dāng)sin4θ=?1時,

4.利用兩角和與差的正切公式進(jìn)行三角換元

5.利用三角函數(shù)線來換元

例9 已知∠A,∠B,∠C為銳角三角形的三個內(nèi)角,求證:sinA+sinB+sinC+tanA+tanB+tanC＞2π.

分析若能證明sinA+sinB+sinC+tanA+tanB+tanC＞2(A+B+C)=2π成立即可,由此想到單位圓中的函數(shù)線可進(jìn)行三角換元.

證明如圖,設(shè)∠A的終邊OM與單位圓相交于M,過M作MN⊥Ox,過Q作QP⊥Ox交OM的延長線于P,由三角函數(shù)線的知識可得sinA=NM,tanA=QP,∠A= 弧MQ.

圖1

下面通過計算面積來證明sinA+tanA＞2∠A.

過M作圓的切線交QP于T,顯然,由∠PMT=90°知,PT＞MT=QT,于是S△PMT＞S△MTQ＞S弓形MQ.所以,S△OMQ+S△OPQ＞2S扇形OMQ,故

同理可證sinB+tanB＞2∠B,sinC+tanC＞2∠C,所以sinA+sinB+sinC+tanA+tanB+tanC＞2(A+B+C)=2π.

三、應(yīng)用三角換元法解題的教學(xué)思考

三角換元法解題的精髓在于以“式”換元,引入一個或幾個新變量代替原有的某些變量或代數(shù)式,利用新的變量求解,然后再返回題目求原變量.類似這樣通過引入新元素,將問題中分散的條件相聯(lián)結(jié)或更好的顯示隱含條件,或根據(jù)等量代換將問題轉(zhuǎn)變?yōu)槭煜さ闹R點(diǎn).三角換元法的切入點(diǎn)很多,如利用sin2α+cos2α=1,tan2α+1=sec2α,兩角和與差的正切公式,萬能公式,三角函數(shù)線等常見類型進(jìn)行解題.例如,在處理形如等等時均可考慮進(jìn)行三角換元.

在教學(xué)實(shí)踐中,還可以適當(dāng)改變問題的條件、結(jié)論等已知信息構(gòu)建出新的問題.放手讓學(xué)生嘗試運(yùn)用多種方法解題,大膽對試題條件、結(jié)論等進(jìn)行變式,使學(xué)生更好的了解三角換元法及其他解題方法,一道題目因思考角度的不同獲得更多的解法,有利于拓寬學(xué)生的解題思維.

綜上所述,一些高考題、競賽題往往看起來陌生新奇、頗具深意,但只要加以分析,充分利用已知信息,巧妙應(yīng)用三角換元法,將復(fù)雜代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題,可以順利的解決一些“難題”,對于啟迪思維、拓寬視野、提升分析問題和解決問題的能力具有重要意義.