例談Lagrange乘數(shù)法在不等式證明中的應用

廣東省佛山市第一中學(528000) 周 驍

多年以來,不等式一直是高考和競賽中的必考內容,究其原因在于其能很好地考查學生邏輯推理能力和創(chuàng)新能力.不等式類的題目題型多樣,技巧性強,得分難度大,對于眾多考生來說,成功解決不等式大題顯得相當困難.本文筆者將較詳細地舉例說明Lagrange乘數(shù)法在高考、數(shù)學競賽和經濟學中的應用,并總結歸納了考生易于理解掌握、程序化的利用Lagrange乘數(shù)法解決不等式證明或最值問題的一般步驟和方法.

一、Lagrange乘數(shù)法

在介紹Lagrange乘數(shù)之前,我們先介紹一下多元函數(shù)及其偏導數(shù)的求法.多元函數(shù),顧名思義為擁有多個變量的函數(shù),如f(x,y)=2x+3y2?xy為二元函數(shù),其中變量為x,y;f(x,y,z)=3x+2y2?4z為三元函數(shù),其中變量為x,y,z.

關于多元函數(shù)的偏導數(shù),類似于物理學中的控制變量法,對選定的變量求導數(shù),將未被選定的變量看作常數(shù).

設函數(shù)f(x,y)=2x+3y2?xy,對x求導數(shù)為fx=2?y,對y求導數(shù)為fy=6y?x,(本文以fx表示多元函數(shù)f對x的偏導數(shù),以fy表示多元函數(shù)f對y的偏導數(shù),以此類推.)

Lagrange乘數(shù),即求一個多元函數(shù)f在另一個多元函數(shù)方程g=0的約束下的極值,本文只討論它在高考及競賽中的應用,更多的細節(jié)請讀者參考高等數(shù)學文獻.

以二元函數(shù)為例,若求在條件g(x,y)=0下,求f(x,y)的最大或最小值,其方法可以簡述如下:首先,構造函數(shù)h(x,y)=f(x,y)?λg(x,y);然后分別對x,y求偏導數(shù),得到hx=fx?λgx,hy=fy?λgy(λ∈R).再通過聯(lián)立方程:hx(x,y,λ)=0,hy(x,y,λ)=0,g(x,y)=0,消去λ之后,得到對應的一組或多組解(x,y).這些解便是f(x,y)在約束條件g(x,y)=0之下的可能的極值點(這里假定原問題有極值).

通過上述,我們可以看出Lagrange乘數(shù)法其實就是根據(jù)題意構造多元函數(shù)h并求出其極值,本質上與一元函數(shù)求極值是相同的.至于如何判斷哪一組x,y是在g(x,y)約束下的最大值或最小值,只需將所求得的x,y代入原式,比較大小即可.

我們可以通過Lagrange乘數(shù)法,避免不等式的繁瑣與困難,從而達到快速解題的目的.

二、Lagrange乘數(shù)在高考中的應用

Lagrange乘數(shù)可以用于快速解決不等式問題,在該類題目中,題目一般會給出變量的約束方程,求另一個多元函數(shù)的最值.

例1 已知a＞0,b＞0,c＞0,且a+b+c=1,求的最小值.

解析設多元函數(shù)構造函數(shù)h(a,b,c)=f(a,b,c)?λg(a,b,c),求偏導數(shù)ha=fa?λga,hb=fb?λgb,hc=fc?λgc,令ha=0,hb=0,hc=0得到因為a,b,c＞0,所以當a=b=c時有最小值.因為a=b=c,且a+b+c=1,所以所以的最小值為27.

例2 函數(shù)y=loga(x+3)?1(a＞0,a?1)的圖像恒過點A,且A在直線mx+ny+1=0上,mn＞0,求的最小值.

解析解法一均值不等式法

易知A(?2,?1),代入直線得

解法二Lagrange乘數(shù)法

易知A(?2,?1),代入直線方程得?2m?n+1=0.設二元函數(shù)g(m,n)=?2m?n+1,構造函數(shù)h(m,n)=f(m,n)?λg(m,n),對變量求偏導數(shù),hm=fm? λgm,hn=fn?λgn,令hm=0,hn=0,于是將代入直線方程,解得有最小值

例3 (遼寧理2014年第16題)對于c＞0,當非零實數(shù)a,b滿足4a2?2ab+4b2?c=0,且使|2a+b|最大時,求的最小值.

解析此題的約束條件有兩個,一個是a,b,c的關系式,即4a2?2ab+4b2?c=0,一個是使得|2a+b|取最大值.|2a+b|的最大值等價于(|2a+b|)2=4a2+4ab+b2的最大值,對于約束條件4a2?2ab+4b2?c=0,為簡單起見,先將c看成常數(shù).不妨設二元函數(shù)f(a,b)=4a2+4ab+b2,g(a,b)=4a2?2ab+4b2?c,構造函數(shù)h(a,b)=f(a,b)?λg(a,b),求偏導數(shù)ha=fa?λga,hb=fb?λgb,令ha=fa?λga=0,hb=fb?λgb=0,因為2ab?b2+8a2=14ab?4a2+8b2,所以(3b+2a)2=16a2,所以當3b=2a時,|2a+b|取最大值,將3b=2a代入g(a,b)=0得到10b2=c.現(xiàn)在我們就得到關于a,b,c的兩兩聯(lián)系的關系式.聯(lián)立得接下來換元,令則原式當t=2時,原式有最小值,最小為?2.

三、Lagrange乘數(shù)法在數(shù)學競賽中的應用

例4 (摘自《數(shù)學奧林匹克小叢書》第二版高中卷2)已知x2?xy+y2=3,其中x,y為實數(shù),求x2+xy+y2的取值范圍.求x2+xy+y2的取值范圍,等價于求原式的最大值及最小值.

解析構造二元函數(shù)f(x,y)=x2+xy+y2,g(x,y)=x2?xy+y2?3,令h(x,y)=f(x,y)?λg(x,y),對函數(shù)h求偏導數(shù)得hx=fx?λgx,hy=fy?λgy,所以2x+y=λ(2x?y),2y+x=λ(2y?x),所以3(x+y)=λ(x+y).現(xiàn)在有兩種情況,即λ=3或x+y=0,在這兩種約束條件下,x2+xy+y2有最大值和最小值.

(1)當λ=3時,代入hx=fx?λgx,得到x=y,代入x2?xy+y2=3,得到(這里取正或負對x2+xy+y2的結果無影響)代入x,y的值得到x2+xy+y2=9.

(2)當x+y=0時,x=?y,代入x2?xy+y2=3,得到x=1,y=?1,或x=?1,y=1.代入任意一組x,y得到原式最小為1.

特別地,上述兩組值代入任意一組對x2+xy+y2的結果無影響.事實上,由于x,y的任意性和原方程的對稱性,這兩組解其實是等價的.

例5 (摘自《數(shù)學奧林匹克小叢書》第二版*高中卷4)設a,b,c是正數(shù),且a+b+c=3,求證:

證法一(通過不等式解決)易知(a+b+c)2=9,所以于是只需證明為此,我們先證明事實上,由平均值不等式得由此可以得到其余兩個不等式.進而,我們有

證法二(通過Lagrange乘數(shù)解決)構造函數(shù)設h(a,b,c)=f(a,b,c)?λg(a,b,c),對h分別對a,b,c求偏導數(shù),ha=fa?λga,hb=fb?λgb,hc=fc?λgc,令偏導數(shù)等于零,即ha=fa?λga=0,hb=fb?λgb=0,hc=fc?λgc=0,易知當a=b=c=1時,有最小值3.同理,令u(a,b,c)=ab+bc+ca,Q(a,b,c)=u(a,b,c)?μg(a,b,c),求出對應變量的偏導數(shù),令Qa=ua?μga=0,Qb=ub?μgb=0,Qc=uc?μgc=0,得到當a=b=c=1時,ab+bc+ca有最大值3.可以看出,的最小值和ab+bc+ca的最大值是相等的.綜上,有成立.

例6 (摘自《數(shù)學奧林匹克小叢書》第二版高中卷4)已知正數(shù)a,b,c滿足abc=1,求證:

證法一利用柯西不等式證明令則原不等式等于1.由柯西不等式,得即于是原不等式得證.

證法二(利用Lagrange乘數(shù)證明)構造函數(shù)f(a,b,c)=令h(a,b,c)=f(a,b,c)?λg(a,b,c),求對應變量的偏導數(shù),得ha=fa?λga,hb=fb?λgb,hc=fc?λgc,令ha=hb=hc=0,顯然當a=b=c=1的時候,原式有最小值,將a=b=c=1.代入原式,得原不等式得證.

例7 (IMO試題)已知非負數(shù)x,y,z滿足x+y+z=1,證明

解析對于此題,無法直接用Lagrange乘數(shù)一步到位,需要與不等式相結合.xy+yz+xz?2xyz=xy(x+y)+yz+xz(x+z).顯然原式大于等于0成立,接下來運用Lagrange乘數(shù)對原式小于等于進行證明.不妨設f(x,y,z)=xy+yz+xz?2xyz,g(x,y,z)=x+y+z?1.令h(x,y,z)=f(x,y,z)?λg(x,y,z),求偏導數(shù)得fx=y+z?2yz,fy=x+z?2xz,fz=x+y?2xy,λgx=λgy=λgz=λ.聯(lián)立hx=fx?λgx=0,hy=fy?λgy=0,hz=fz? λgz=0,則有fx=fy=fz=λ,解之得當時,當時,因為所以原式的最大值是于是有命題得證.

對于某些題,相比均值不等式,Lagrange乘數(shù)法的計算過程或許不如不等式那樣簡潔,但是思路更加清晰簡單.Lagrange乘數(shù)法更類似一種固定式的算法,不像不等式方法所具有的高技巧性.事實上,Lagrange乘數(shù)法本身就是一種技巧,也可以認為Lagrange乘數(shù)法是解不等式題的一種“公式”,就如同求根公式在解一元二次方程時的地位與作用.

有時候,將不等式和Lagrange乘數(shù)法有機地結合與運用,能在解題過程中取得事半功倍的效果.

四、Lagrange乘數(shù)在經濟學中的應用

Lagrange乘數(shù)在大學教材中有更廣泛的作用,其步驟比起本文所述更加復雜.此外,Lagrange乘數(shù)在經濟學中,也常用于解決最優(yōu)化方案的問題.下面簡單舉一例:

例8 已知某制造商的柯布-道格拉斯(Cobb-Douglas)生產函數(shù)是每個勞動力和單位資本的成本分別為150元和250元.該制造商的成本預算是50000元.如何分配這筆錢用于雇用勞動力和資本,使得生產產量最高.

解析這是一個條件極值的問題.求函數(shù)在g(x,y)=150x+250y=50000下的最大值.對f,g分別求偏導數(shù),得到:構造函數(shù)h(x,y)=f(x,y)?λg(x,y),求偏導數(shù)并令其為0.因為hx=fx?λgx,將其代入fy=λgy中,得到在兩邊同時乘以所以25x?125y=0,x=5y.將此結果代入150x+250y=50000中,解得x=250,y=50,所以該制造商應該雇用250個勞動力,把其余部分資金作為資本投入,這時候可以獲得最大產量f(250,50)=16719.

五、運用Lagrange乘數(shù)的一般步驟

第一步:在求f(x,y,z)的最大值或最小值時,一定要確定所給的約束方程符合g(x,y,z)=0,比如x2+y2=z2,我們需要把它改寫成g(x,y,z)=x2+y2?z2=0;

第二步:令fx?λgx=0,fy?λgy=0,fz?λgz=0;

第三步:解上述方程組,找出對應的x,y,z;

第四步:判斷第三步得到的解x,y,z,如果有多組解,判斷哪一組是最大值或最小值(如果只有一組解,那么必然是f(x,y,z)最大值或最小值).

六、解題的一般性的規(guī)律

在解題過程中,題目所給出的要求證明的不等式,一般是具有對稱性的.

常見題型設定(以原式具有最小值為例):

由于原不等式的對稱性,將不等式左邊看成n元函數(shù),對任一變量ai(1≤i≤)所求的偏導數(shù)的形式是相同的.通過Lagrange乘數(shù)法,我們可以得到:當時,原式有最小值.不難發(fā)現(xiàn),實際上不等式右邊的于是原不等式等價于

事實上,如果f(x)為凸函數(shù)即f:(a,b)→R,滿足其中x,y∈(a,b),xy,那么有

其中xk∈(a,b),且至少有一對(i,j),使得請讀者用歸納法自行證明.

七、解方程式時常見的錯誤

1.如果題目給出了兩個或以上的約束方程式,例如對于變量x,y,z有h(x,y)=0與k(x,y)=0同時滿足,不可以貿然設定h(x,y)=k(x,y)=0,雖然在邏輯上沒有問題,殊不知這個看似無害的設定,就讓許多本就隱蔽的信息更加隱藏了起來.這樣不利于解題,甚至使得無法解題.

2.在遇到x=λx的時候,切記不可以自動把等號兩邊的x抵消掉,然后解得λ=1.事實上,此舉相當于在等號兩邊同時除以x,并且這步驟只能是在確定x?=0的條件下才能夠實施.因此,對于x=kx的情況,可能的解不僅有k=1,還可能存在x=0.

本文所述的是Lagrange乘數(shù)法在高考數(shù)學及高中數(shù)學競賽中的作用,也簡單介紹了Lagrange乘數(shù)在經濟學中的應用和基本步驟.在大學數(shù)學中,Lagrange乘數(shù)法有著更加廣泛的應用和更為復雜的使用技巧.此外,Lagrange乘數(shù)法不是高考數(shù)學與競賽中正規(guī)的解題步驟,因此不可作為答題步驟,Lagrange乘數(shù)主要在解決難度較大的不等式類選擇題或填空題時使用.

總之,能否正確而快速地解題,才是考試能否成功的決定性因素.