三視圖確定的幾何體唯一嗎?

廣東省深圳市光明新區(qū)高級(jí)中學(xué)(518106) 姜 瑋

一、一道錯(cuò)題的分析

在剛剛出爐的2018年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試大綱(理科數(shù)學(xué))的第II部分中,對(duì)立體幾何部分有下列要求:能畫(huà)出簡(jiǎn)單空間圖形(長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡(jiǎn)易組合)的三視圖,能識(shí)別上述三視圖所表示的立體模型[1].文科數(shù)學(xué)也有同樣的要求.可見(jiàn)由三視圖確定幾何體是立體幾何部分的重點(diǎn)考查內(nèi)容之一.

而在人教A版必修2教科書(shū)上1.2.2《空間幾何體的三視圖》一節(jié)的課后練習(xí)2則是這樣一道題“觀(guān)察下列幾何體的三視圖,想象并說(shuō)出它們的幾何結(jié)構(gòu)特征,然后畫(huà)出它們的示意圖”[2].由于此題中三視圖對(duì)應(yīng)的空間幾何體都是唯一的,且課本中對(duì)于三視圖對(duì)應(yīng)的空間幾何體是否唯一也沒(méi)有給出一般性的結(jié)論,因此學(xué)生很容易根據(jù)經(jīng)驗(yàn)認(rèn)為三視圖可以確定唯一的空間幾何體.

然而,三視圖真的能唯一確定空間幾何體嗎?

在河南省洛陽(yáng)市2016—2017學(xué)年高中三年級(jí)期中考試有這樣一道數(shù)學(xué)題:一個(gè)幾何體的三視圖都是邊長(zhǎng)為1的正方形,如圖1,則該幾何體的體積是()

圖1

解法一該三視圖對(duì)應(yīng)的幾何體是如圖2所示三棱錐A1?BC1D.三棱錐A1?BC1D可以看成正方體截去四個(gè)角,即截去三棱錐A?A1BD,C?C1BD,B1?A1BC1,D1?A1DC1后剩下的多面體.這四個(gè)三棱錐都是同底等高的.因此這也是該題參考答案給出的正確選項(xiàng)B的由來(lái).

圖2

圖3

解法二然而通過(guò)觀(guān)察我們發(fā)現(xiàn),如圖3所示多面體A1B1C1BD——即正方體截去三棱錐A?A1BD,C?C1BD,D1?A1DC1后剩下的多面體,其三視圖也與圖1一模一樣.則此時(shí)那么這道題的選項(xiàng)D也是正確的.

所以我們不難發(fā)現(xiàn),這道題如果作為一道單選題實(shí)際上是一道錯(cuò)題,該題的錯(cuò)誤正是在于題目所給的三視圖對(duì)應(yīng)的空間幾何體并不唯一.除了正方體截去四個(gè)角后剩下的三棱錐A1?BC1D三視圖符合圖1,該正方體截去上述四個(gè)角中的任意三個(gè)后形成的多面體的三視圖也符合圖1.這樣的截法有四種,也就意味著至少有五種幾何體可以對(duì)應(yīng)圖1中的三視圖.

如果命題人意識(shí)到上述問(wèn)題,就會(huì)知道要使本題中三視圖所對(duì)應(yīng)的空間幾何體唯一,則必須加上更細(xì)致的要求.比如將題目中的“幾何體”改為“三棱錐”,方可保證該題作為單選題的正確性.

二、一個(gè)實(shí)例的深化

有些同學(xué)可能會(huì)懷疑,是否因?yàn)楸绢}過(guò)于特殊,才導(dǎo)致了幾何體不唯一呢?下面我們以常見(jiàn)的正方體組合體為例,來(lái)進(jìn)一步說(shuō)明三視圖所對(duì)應(yīng)的幾何體不一定是唯一的.

如圖4所示,該幾何體由8個(gè)棱長(zhǎng)為1正方體組合而成,這個(gè)組合體的三視圖如圖5所示.

圖4

圖5

但是該組合體去掉任意一個(gè)小正方體后(如圖6),三視圖還是與圖5相同,還可以按照?qǐng)D7去掉兩個(gè)小正方體,三視圖也仍然不變.甚至我們可以發(fā)現(xiàn),最少僅需4個(gè)正方體(如圖8),就可以保證其三視圖與圖5相同!

圖6

圖7

圖8

由此可見(jiàn),三視圖對(duì)應(yīng)的幾何體確實(shí)是不唯一的.

因此,作為教師在出題時(shí)一定要考慮題目的嚴(yán)謹(jǐn)性與科學(xué)性.本例圖5中三視圖對(duì)應(yīng)的組合體不僅不唯一,而且有很多不同情況.如果考察原幾何體的體積或表面積勢(shì)必會(huì)有多種不同的答案,因此可以改為通過(guò)排列組合的方法考察學(xué)生對(duì)該三視圖對(duì)應(yīng)的組合體的多樣性的認(rèn)識(shí).

例1 某空間幾何體由若干個(gè)棱長(zhǎng)為1正方體組合而成,其三視圖如圖5所示,試問(wèn)這樣的幾何體有多少個(gè)?

解答要組成該幾何體最少只需要4個(gè)小立方體,最多需要8個(gè),因此可以按小立方體的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類(lèi).

4個(gè)小立方體時(shí),上下兩層每層一個(gè),且同層兩個(gè)不在同一排或一列.上層兩個(gè)方塊一旦確定位置,下層兩個(gè)方塊的位置也會(huì)對(duì)應(yīng)確定,因此有2種排列方法.

5個(gè)小立方體時(shí),可以看成4個(gè)能確定該三視圖的小立方體加上任意1個(gè)小立方體.除去已確定的四個(gè)小立方體,還有4個(gè)空位,而4個(gè)小立方體一共有兩種排列方式能滿(mǎn)足該三視圖,因此共有種排列方式.

6個(gè)小立方體時(shí),可以看成8個(gè)立方體減去2個(gè)小立方體,但是減去的兩個(gè)小立方體不能在大正方體的同一條棱上,因此共有種排列方法.

7個(gè)小立方體時(shí),可以看成8個(gè)立方體減去任意1個(gè)小立方體,因此共有種排列方法.

8個(gè)小立方體時(shí),只有如圖4唯一一種排列方法.

因此共有2+8+16+8+1=35種排列方法使若干個(gè)棱長(zhǎng)為1的小立方體組成的幾何體三視圖如圖5所示.