淺析如何用幾何意義解絕對(duì)值不等式

何隆迪

【摘要】普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“數(shù)學(xué)是研究空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué).”數(shù)形結(jié)合思想將代數(shù)與幾何聯(lián)系起來(lái)，是中學(xué)數(shù)學(xué)中非常重要的思想.本文將介紹含絕對(duì)值不等式的幾何意義及運(yùn)用幾何意義解含絕對(duì)值的不等式.

【關(guān)鍵詞】絕對(duì)值;不等式;幾何意義;數(shù)形結(jié)合

絕對(duì)值不等式是選修4-5中的內(nèi)容，解含絕對(duì)值的不等式的核心思想是去絕對(duì)值符號(hào)，通過(guò)同解變形，將絕對(duì)值不等式轉(zhuǎn)化為一般不等式，再運(yùn)用不等式的基本性質(zhì)來(lái)求解.常見(jiàn)的解題方法有：定義法、零點(diǎn)分段法、平方法、圖像法、公式法等.課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)本專題給出了如下目標(biāo)：會(huì)利用絕對(duì)值的幾何意義求解以下類型的不等式：

① |ax+b|≤c，② |ax+b|≥c，③ |x-c|+|x-b|≥a.

利用絕對(duì)值的幾何意義解上述類型的不等式，很好地避免了代數(shù)方法的多種分類討論，簡(jiǎn)潔又高效.為把握高考題型，明確考點(diǎn)，筆者將結(jié)合近年高考真題，具體談?wù)勈裁词墙^對(duì)值的幾何意義及如何用幾何意義來(lái)解絕對(duì)值不等式.

一、絕對(duì)值的幾何意義

我們知道：“正數(shù)的絕對(duì)值等于它本身，0的絕對(duì)值還是0，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)”，用符號(hào)表示為：

|a|=a，當(dāng)a>0時(shí)，

0，當(dāng)a=0時(shí)，

-a，當(dāng)a<0時(shí).

這里在去掉|a|中的絕對(duì)值符號(hào)時(shí)分了三種情況，若記a為數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)，則|a|就表示點(diǎn)A與原點(diǎn)O之間的距離，當(dāng)點(diǎn)A在原點(diǎn)右邊時(shí)，距離為正，為a;當(dāng)點(diǎn)A與原點(diǎn)重合時(shí)，距離為0;當(dāng)點(diǎn)A在原點(diǎn)左邊時(shí)，距離為正，為-a.如上圖所示，一條數(shù)軸解決三種分類.

顯然，一個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值的幾何意義為：在數(shù)軸上表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)與原點(diǎn)之間的距離.

對(duì)于多項(xiàng)式的絕對(duì)值，也可以在數(shù)軸上用距離表示：|x-a|即為數(shù)軸上表示x的點(diǎn)與表示a的點(diǎn)之間的距離，如圖所示，結(jié)果為右邊點(diǎn)表示的數(shù)減去左邊點(diǎn)表示的數(shù).對(duì)于形如|x-a|的式子，可通過(guò)等價(jià)變形|x+a|=|x-（-a）|表示為x與-a之間的距離.

二、幾種不同類型的絕對(duì)值不等式的解法

（一）|ax+b|≤c型

例1（2016·上海）設(shè)x∈R，求不等式|x-3|<1的解集.

本題不等式中只有一個(gè)絕對(duì)值，|x-3|的幾何意義為數(shù)軸上表示x的點(diǎn)與表示3的點(diǎn)之間的距離，不等式要求距離小于1，需要先在數(shù)軸上找到與表示3的點(diǎn)距離等于1的關(guān)鍵點(diǎn)，這樣的點(diǎn)有兩個(gè)，3左邊一個(gè)為2，3右邊一個(gè)為4，如圖所示，到3的距離小于1的所有點(diǎn)均落在2與4之間（不包括2，4）.所以不等式的解集為{x|2<x<4}.

（二）|ax+b|≥c型

例2求不等式|3-2x|≥5的解集.

絕對(duì)值符號(hào)里是多項(xiàng)式，x的系數(shù)不為±1，所以先對(duì)不等式作等價(jià)變形為：3/2-x≥5/2，在數(shù)軸上找到與3/2距離恰好為5/2的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，分別為-1和4，問(wèn)題就迎刃而解了，我們需要找的是距離大于或等于5/2，所以點(diǎn)在-1的左邊或4的右邊（包括-1和4），解集為{x|x≤-1或x≥4}.

（三）|x-c|+|x-b|≥a型

例3（2014·廣東）求不等式|x-1|+|x+2|≥5的解集.

兩個(gè)絕對(duì)值相加表示距離之和，要用幾何意義解此類含有兩個(gè)絕對(duì)值的不等式，和只含一個(gè)絕對(duì)值的不等式一樣，都應(yīng)在數(shù)軸上找到關(guān)鍵點(diǎn).

本題中，關(guān)鍵點(diǎn)為-2，1，不等式表示與-2，1這兩點(diǎn)距離之和大于等于5，-2，1這兩點(diǎn)把數(shù)軸分成了3段，在-2和1之間的任意點(diǎn)，到這兩點(diǎn)距離之和均為定值3，所以在-2左邊以及1的右邊繼續(xù)尋找與-2和1距離之和等于5的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，容易得出關(guān)鍵點(diǎn)為-3和2.我們要求的是距離之和大于等于5，滿足要求的點(diǎn)落在-3左邊和2的右邊（包括-3和2），不等式的解集為{x|x≤-3或x≥2}.

利用幾何意義，省去了代數(shù)法去絕對(duì)值的分段討論，直觀又形象.

（四）|x-c|+|x-b|≤a型

例4（2016·新課標(biāo)Ⅱ）函數(shù)f（x）=x-1/2+x+1/2，求不等式f（x）<2的解集.

本題要解的不等式為x-1/2+x+1/2<2，與例3類似，為兩個(gè)絕對(duì)值相加，需要找出到點(diǎn)1/2與-1/2距離之和小于2的所有點(diǎn)，1/2與-1/2這兩點(diǎn)把數(shù)軸分成了3段，在1/2與-1/2之間的任意點(diǎn)，到這兩點(diǎn)距離之和均為定值1，滿足題目要求，接著在-1/2的左邊與1/2的右邊繼續(xù)尋找與12和-12的距離之和等于2的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，容易得出關(guān)鍵點(diǎn)為-1和1.我們要求的是距離之和小于2，滿足要求的點(diǎn)落在-1和1之間（不包括-1和1），不等式解集為{x|-1<x<1}.