MPCK視角下的數(shù)學(xué)專題教學(xué)

萬(wàn)贏銀

[摘 要] 專題教學(xué)作為課堂教學(xué)內(nèi)容的重要組成部分，如何組織專題教學(xué)值得深入研究. 本文從MPCK的視角縱觀專題教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)、立足點(diǎn)、落腳點(diǎn)，通過(guò)教學(xué)案例，闡述MPCK視角下專題教學(xué)的實(shí)踐與思考.

[關(guān)鍵詞] MPCK，數(shù)學(xué)專題，問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，數(shù)學(xué)素養(yǎng)

數(shù)學(xué)專題是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)活動(dòng)的重要組成部分，它以具有一定綜合性的內(nèi)容為載體，以形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)為指向，以提升學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題、提升能力為目的，具有一定的操作性、指向性和實(shí)效性.

當(dāng)前專題教學(xué)中，“大容量+大范圍”的現(xiàn)象較為普遍，其結(jié)果是學(xué)生沒有真正理解數(shù)學(xué)知識(shí)，不能抓住其本質(zhì)，在解決問(wèn)題時(shí)束手無(wú)策、無(wú)從入手. 存在這種現(xiàn)象的主要原因有：①有些教師沒有透徹地理解問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，只是通過(guò)一些例習(xí)題帶過(guò)，缺乏深入講解，導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)效果甚微；②對(duì)專題教學(xué)認(rèn)識(shí)不夠、定位不準(zhǔn)，以為學(xué)生會(huì)機(jī)械地模仿就能解題；③不了解學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，以為大容量、大范圍、快進(jìn)度就能帶來(lái)高效率. 這樣的專題教學(xué)往往失去了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，學(xué)生不知道數(shù)學(xué)思想源自何處、有何作用，自然也就對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)失去了興趣.

一個(gè)具有優(yōu)秀MPCK的教師在教學(xué)中會(huì)讓學(xué)生充分地認(rèn)識(shí)到：數(shù)學(xué)專題不僅僅是“題海戰(zhàn)術(shù)”，在實(shí)踐和應(yīng)用中更蘊(yùn)含著“火熱的思考”.

[?] MPCK的內(nèi)涵與結(jié)構(gòu)

20世紀(jì)80年代，美國(guó)學(xué)者舒爾曼提出了“缺失的范式”，給出了PCK概念，為人們進(jìn)一步理解教與學(xué)提供了更加廣闊的視角.就數(shù)學(xué)教育而言，掌握豐富的數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)并不能有效地促進(jìn)教師專業(yè)發(fā)展，教師更需要具備MPCK，即具備數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)（MK）、一般教學(xué)法知識(shí)（PK）、有關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的知識(shí)（CK）以及教育技術(shù)知識(shí)（TK），才能將學(xué)科知識(shí)有效地傳遞給學(xué)生.

1. MPCK視角下的數(shù)學(xué)專題教學(xué)

數(shù)學(xué)專題不僅是對(duì)知識(shí)的深化和方法的拓展，更是對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的探索過(guò)程的辨析與能力的提高. 因此，在數(shù)學(xué)專題教學(xué)中要突出學(xué)生的主體性，充分讓學(xué)生參與教學(xué)過(guò)程，使學(xué)生生動(dòng)、活潑、主動(dòng)地學(xué)習(xí).教師應(yīng)從MK、PK、CK、TK的角度開展數(shù)學(xué)專題教學(xué)，讓學(xué)生成為解題方法的參與者和發(fā)現(xiàn)者.

從MK的角度分析，教師應(yīng)具備豐富、系統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí). 在專題教學(xué)中，教師應(yīng)做到以下幾點(diǎn)：

①“問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟.”專題教學(xué)中要選擇一些知識(shí)點(diǎn)覆蓋面廣、解題方法多、思維含量高的習(xí)題作為素材，按照“知識(shí)問(wèn)題化、問(wèn)題層次化”的設(shè)計(jì)思路組織課堂活動(dòng).

②“學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆.” 要在專題教學(xué)中適時(shí)地歸納總結(jié)，挖掘問(wèn)題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，引導(dǎo)學(xué)生在建構(gòu)基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)奏響數(shù)學(xué)思想的“主旋律”.

③教師在專題教學(xué)中要注重知識(shí)的自然生成，潛意識(shí)地進(jìn)行教學(xué)預(yù)設(shè)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，有助于學(xué)生知識(shí)體系的建構(gòu).

從PK的角度分析，教師應(yīng)選擇恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法組織教學(xué)，完成既定教學(xué)任務(wù). 數(shù)學(xué)專題教學(xué)一般可按照以下步驟進(jìn)行：①創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引入專題；②形成解題策略，分析解題困境；③探究?jī)?yōu)化方法，啟發(fā)、引導(dǎo)問(wèn)題解決；④引申、變式、探究、研討；⑤總結(jié)、歸類反思方法.在具體的教學(xué)中適時(shí)調(diào)整，以問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)、探究和解決為中心，通過(guò)發(fā)現(xiàn)、分析、創(chuàng)造性地解決問(wèn)題去激發(fā)學(xué)生的求知欲、創(chuàng)造欲和主體意識(shí).

從CK的角度分析，教師應(yīng)充分把脈學(xué)生的知識(shí)水平、學(xué)習(xí)能力，確定教學(xué)專題做到因材施教，設(shè)計(jì)符合學(xué)情的教學(xué)活動(dòng)，在活動(dòng)中幫助學(xué)生夯實(shí)基礎(chǔ)，又能突破專題難點(diǎn).

從TK的角度分析，教師應(yīng)根據(jù)專題教學(xué)的特點(diǎn)，合理運(yùn)用現(xiàn)代教育技術(shù)輔助教學(xué)，運(yùn)用現(xiàn)代教育技術(shù)直觀、動(dòng)態(tài)地呈現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律、數(shù)學(xué)現(xiàn)象. 此外，現(xiàn)代教育技術(shù)的應(yīng)用也為提高專題復(fù)習(xí)課堂的效率提供了技術(shù)支撐.

[?] MPCK視角下的數(shù)學(xué)專題教學(xué)案例分析

以高三數(shù)學(xué)教學(xué)專題“三角形中的三角函數(shù)”為例.

1. 課堂引入——專題教學(xué)以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)為出發(fā)點(diǎn)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》強(qiáng)調(diào)“要讓學(xué)生在現(xiàn)實(shí)、生動(dòng)具體的情境中和已有知識(shí)的基礎(chǔ)上體驗(yàn)和理解數(shù)學(xué)知識(shí)”. 因此，在專題教學(xué)中創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)膯?wèn)題情境，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)，激發(fā)源動(dòng)力.

引例1：（2015年江蘇卷）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°，求BC的長(zhǎng)及sinC.

引例2：（2013年全國(guó)卷Ⅱ）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知b=2，B=，C=，求△ABC的面積.

引例3：△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足acosB-bcosA=c，求的值.

引例4：在△ABC中，已知點(diǎn)D在BC邊上，AD⊥AC， sin∠BAC=，AB=3，AD=3，求BD的長(zhǎng).

評(píng)析：（1）從MK和PK的角度來(lái)看，本環(huán)節(jié)的目的是讓學(xué)生通過(guò)一些問(wèn)題感知“三角形中的三角函數(shù)”專題中常見的處理策略：在一個(gè)或多個(gè)三角形中運(yùn)用正、余弦定理進(jìn)行邊角互化解三角形，從而完成對(duì)三角形中的三角函數(shù)專題的第一次認(rèn)識(shí).

（2）從CK的角度來(lái)看，根據(jù)認(rèn)知心理學(xué)理論，學(xué)生對(duì)知識(shí)的認(rèn)知將經(jīng)歷感知、推理、創(chuàng)造的過(guò)程. 通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，幫助學(xué)生建立與新知識(shí)聯(lián)系的橋梁，形成完整的知識(shí)體系. 同時(shí)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生了解專題產(chǎn)生的背景以及它的作用，懂得數(shù)學(xué)知識(shí)并不是獨(dú)立的，而是一脈相承的. 因此，以問(wèn)題為驅(qū)動(dòng)，引入課題是專題教學(xué)有效的切入點(diǎn).

2. 探索體驗(yàn)——專題教學(xué)以學(xué)生探究為立足點(diǎn)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》指出，課堂教學(xué)要善于激發(fā)學(xué)生“自學(xué)、互學(xué)、群學(xué)”的學(xué)習(xí)熱情，專題教學(xué)中常通過(guò)設(shè)計(jì)一些問(wèn)題讓學(xué)生進(jìn)行探究交流.

例1：在△ABC中，AB=4，AD為BC邊上的中線，∠BAD=30°，cos∠ADC=，求AC的長(zhǎng).

通過(guò)分析，利用正、余弦定理可以解決這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生主要的困惑在于面對(duì)多個(gè)三角形如何靈活地選用正、余弦定理. 為突破這個(gè)難點(diǎn)，可再設(shè)計(jì)一組問(wèn)題串：

問(wèn)題1：在△ABC中，AD為BC邊上的中線，且∠BAC=120°，BC=2，AD=3，求AC的長(zhǎng).

問(wèn)題2：在△ABC中，AD為BC邊上的中線，且AB=4，AC=2，∠BAD=30°，求BC的長(zhǎng).

問(wèn)題3：在△ABC中，∠A=120°，AD為∠A的平分線，且BC=2，BD=，求AC的長(zhǎng).

通過(guò)這幾個(gè)問(wèn)題的討論、交流，引導(dǎo)學(xué)生深化對(duì)知識(shí)的理解，提升轉(zhuǎn)化和化歸的能力.

評(píng)析：（1）從MK和PK的角度來(lái)看，本環(huán)節(jié)的目的是讓學(xué)生深化對(duì)知識(shí)的理解和運(yùn)用，提升分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力. 在設(shè)計(jì)時(shí)，注重學(xué)生的課堂參與度，努力搭建平臺(tái)引導(dǎo)學(xué)生自主探究、自主提升，充分體現(xiàn)學(xué)生的主體性，讓探究成為專題教學(xué)的立足點(diǎn).

（2）從CK的角度來(lái)看，根據(jù)皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展階段論，高中學(xué)生已具備較高的認(rèn)知水平，通過(guò)第一環(huán)節(jié)的學(xué)習(xí)已經(jīng)初步掌握了利用正、余弦定理解決三角形中的邊角問(wèn)題，但是面對(duì)多個(gè)三角形如何靈活地選用正、余弦定理還是存在困惑，因?yàn)榘褟?fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化、化歸為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，對(duì)高中生來(lái)說(shuō)難度較大.

（3）從PK和TK的角度來(lái)看，利用現(xiàn)代教育技術(shù)手段呈現(xiàn)知識(shí)的自然生成，而要使知識(shí)得到有效的建構(gòu)，有賴于學(xué)生主動(dòng)探索與思考. 教師可適當(dāng)?shù)剡x擇啟發(fā)式、探究式等教學(xué)策略，引導(dǎo)學(xué)生積極地思考，自主探究，化解問(wèn)題的難點(diǎn).通過(guò)設(shè)計(jì)幾個(gè)問(wèn)題串把學(xué)生的思維推向深化，加深他們對(duì)知識(shí)的理解和運(yùn)用.

3. 應(yīng)用提煉——專題教學(xué)以思想方法為落腳點(diǎn)

“學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆.”專題教學(xué)不僅僅是單純的習(xí)題教學(xué)，更重要的是在問(wèn)題解決過(guò)程中凸顯解題策略和數(shù)學(xué)思想方法.

例2：已知在△ABC中，AB邊上的高與AB邊的長(zhǎng)相等，求++的最大值.

解：不妨設(shè)BC=a，AC=b，AB=c，AB邊上的高為h，根據(jù)正弦定理及三角形的面積可得ch=absinC. 又h=c，所以c2=absinC，即c2=absinC.

由余弦定理知，c2=a2+b2-2abcosC，所以a2+b2=absinC+2abcosC，從而++====2sinC+2cosC=2·sin

C+

.

所以，當(dāng)C=時(shí)取得最大值2.

思維拓展：

1. （2008年江蘇高考第14題）已知在△ABC中，AB=2，AC=BC，求△ABC的面積的最大值.

2. 已知平面向量m，n滿足

n

=1且m與n-m的夾角為120°，求

m

的最大值.

通過(guò)例2和思維拓展題，學(xué)生的思維在廣度、深度上得到了拓展，對(duì)本專題的掌握在解題方法和數(shù)學(xué)思想上有了質(zhì)的突破，提升了運(yùn)用數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題的能力.

評(píng)析：（1）從MK的角度來(lái)看，每個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題都蘊(yùn)含著一定的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法. 例2中最值問(wèn)題在本質(zhì)上是函數(shù)問(wèn)題，運(yùn)用正、余弦定理解決三角形里的最值問(wèn)題是函數(shù)問(wèn)題的常見解題策略.

（2）從CK的角度來(lái)看，經(jīng)過(guò)前面三個(gè)階段學(xué)生已有一定的知識(shí)儲(chǔ)備，例2就是讓學(xué)生將知識(shí)提煉升華到方法層面，更深層次地培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用正、余弦定理解決三角形問(wèn)題的工具意識(shí).

（3）從PK的角度來(lái)看，專題教學(xué)更注重?cái)?shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育. 例2讓學(xué)生體驗(yàn)到正、余弦定理與三角恒等變換、三角形面積公式、基本不等式的綜合應(yīng)用，在應(yīng)用里體會(huì)數(shù)學(xué)問(wèn)題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想、方法，逐步掌握程序性知識(shí)和策略性知識(shí)，優(yōu)化認(rèn)知結(jié)構(gòu)，同時(shí)在思維的訓(xùn)練中引領(lǐng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

[?] 結(jié)語(yǔ)

專題教學(xué)是一項(xiàng)復(fù)雜、艱巨的教學(xué)任務(wù)，它不但需要教師做好充分的課程準(zhǔn)備，更需要教師能夠根據(jù)學(xué)情適時(shí)地調(diào)整教學(xué)模式和教學(xué)方法. 在專題課題的選材上往往以學(xué)生的信息反饋、教材習(xí)題、試題研究、教研活動(dòng)等為生長(zhǎng)點(diǎn)，教師要扮演好專題教學(xué)的策劃設(shè)計(jì)者、引導(dǎo)調(diào)控者、鼓勵(lì)評(píng)價(jià)者、梳理升華者，學(xué)生要成為專題教學(xué)的積極參與者和發(fā)現(xiàn)者，引導(dǎo)學(xué)生從認(rèn)識(shí)上、思想上揭示問(wèn)題的本質(zhì)，進(jìn)而培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新意識(shí).

專題是高中數(shù)學(xué)課堂的重要內(nèi)容，如何通過(guò)專題教學(xué)讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，這就需要教師具備專業(yè)的MPCK. 只有具備良好的MPCK，才能創(chuàng)造性地組織、實(shí)施教學(xué)，鍛煉學(xué)生的思維，同時(shí)教師的個(gè)人教育教學(xué)素養(yǎng)也將得到提升.

參考文獻(xiàn)：

[1] 董濤. 課堂教學(xué)中的PCK[D]. 華東師范大學(xué)，2008.

[2] 梅松竹，冷平，王燕榮. 數(shù)學(xué)教師 MPCK之案例剖析[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2010，19（11）：10-12.

[3] 徐芳芳. 高中數(shù)學(xué)教師的學(xué)科知識(shí)與學(xué)科教學(xué)知識(shí)研究[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2011，20（3）：71-75.

[4] 秦德生，孫曉雪. 中學(xué)教師數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的模型分析[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2009，18（5）：89-91.

[5] 托德·維特克爾. 優(yōu)秀教師一定要知道的14件事[J]. 中國(guó)青年出版社，2006.