輔助角公式的課堂教學(xué)處理與思考

趙衛(wèi)群

[摘 要] 公式教學(xué)中教師應(yīng)重視學(xué)生的生活經(jīng)驗，關(guān)注學(xué)生的原有知識基礎(chǔ)和思維基礎(chǔ)，利用設(shè)計陷阱，經(jīng)歷“試誤”，發(fā)現(xiàn)“錯誤”，小組討論等方式讓學(xué)生經(jīng)歷知識探究的艱難過程. 最后加上適度的數(shù)學(xué)訓(xùn)練幫助學(xué)生加深對數(shù)學(xué)方法、規(guī)律的理解，達(dá)到增強記憶的目的. 至于教學(xué)實際中哪種方法更能減少學(xué)生的錯誤，這還需要教師多比較、多思考、多實踐.

[關(guān)鍵詞] 輔助角公式；教學(xué)處理；靈活運用

輔助角公式在三角函數(shù)式的化簡、求最值、周期、單調(diào)區(qū)間時，使用頻率比較高，因此要求學(xué)生熟練地掌握輔助角公式的運用.對于形如y=asinx+bcosx的三角函數(shù)式，可變形為：asinx+bcosx=sin（x+φ）（*），其中φ由cosφ=，sinφ=來確定.通常稱式子（*）為輔助角公式. 使用輔助角公式的難點主要是輔助角φ的大小確定，雖然公式中給出了φ的確定方法，但在實際運用中學(xué)生及其容易犯錯. 更何況筆者所接觸的是因各種原因未能考上普高而選擇上職業(yè)高中的學(xué)生，他們的領(lǐng)悟能力、接受能力和記憶能力均稍遜一些. 根據(jù)江蘇省對口單招考綱要求，結(jié)合這些高中學(xué)生的實際情況，教學(xué)中教師要把握好度. 下面談?wù)劰P者對輔助角公式的教學(xué)處理與思考.

[?] 學(xué)生熟悉公式的來龍去脈

y=asinx+bcosx=

·sinx+cosx

，因為

+

=1，所以存在角φ，使得cosφ=，sinφ=，則y=（sinx·cosφ+cosx·sinφ）=sin（x+φ）. 教學(xué)中教師通過以上講述，使學(xué)生在認(rèn)知上能理解構(gòu)造角φ，目的是轉(zhuǎn)化為角x和角φ和的正弦，然后根據(jù)兩角和的正弦公式寫成sin（x+φ）.

不管我們面對的學(xué)生能力層次如何，在公式教學(xué)過程中，公式的推導(dǎo)要舍得花時間. 一是強調(diào)學(xué)生對認(rèn)知過程的經(jīng)歷和體驗，二是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會探究的一種數(shù)學(xué)基本素養(yǎng)，三是進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的思維，提高學(xué)生的解題能力. 教學(xué)中不能過于形式化，更不必讓學(xué)生死記硬背公式.

[?] 教學(xué)處理方法與思考

處理方法一：設(shè)θ是銳角，得sinθ=，cosθ=的值，由此可求得銳角θ；再判斷點（a，b）的象限；最后根據(jù)φ=θ（點在第一象限），

π-θ（點在第二象限），

π+θ（點在第三象限），

-θ（點在第四象限）（*），求得φ的值.

這種方法的優(yōu)點是化簡后的表達(dá)式中正弦型函數(shù)的系數(shù)永遠(yuǎn)是正數(shù)，且整體結(jié)構(gòu)不變，主要是括號內(nèi)輔助角φ的不同. 這種做法對后續(xù)求正弦型函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)有利. 但在教學(xué)中要提醒學(xué)生注意sinx的系數(shù)是a，cosx的系數(shù)是b，兩者不能混淆. 缺點是由于中職學(xué)生的自身原因記不住上述求φ的規(guī)律，難點是無法理解明明是求φ，為什么要先求θ.在此說不清道理可以不說，以后再說. 就像小學(xué)生背古詩詞，他未必懂，但隨著閱歷的增長，他對詩詞的理解會越來越深刻.也就是說用這種方法處理時讓學(xué)生感覺到求出θ再求φ很方便.

處理方法二：設(shè)θ是銳角，得tanθ=

的值，由此可求得θ；再判斷點（a，b）的象限；最后根據(jù)規(guī)律（*），求得φ的值.

這種解法與解法一基本相似，主要不同在于求角θ時，用的是正切函數(shù). 此時學(xué)生只要借tan=，tan=1，tan=，即可得角θ，且不容易混淆與. 雖然在解法上只做了稍稍改變，但卻大大減少了學(xué)生的錯誤. 當(dāng)然難點還是需要學(xué)生記憶tanθ=

及根據(jù)象限求φ的方法規(guī)律.

處理方法三：若a，b同正，則y=asinx+bcosx=sin（x+φ）；若a，b同負(fù)，則y=asinx+bcosx=-sin（x+φ）；若a正，b負(fù)，y=asinx+bcosx=sin（x-φ）；若a負(fù)，b正，y=asinx+bcosx=-·sin（x-φ）；前的正負(fù)號與系數(shù)a的性質(zhì)符號是一致的，其中由tanφ=

得銳角φ. 如cosx-sinx=-sinx+·cosx=-（sinx-cosx）=-2sin（x-φ）. 因為tanφ=，所以銳角φ=，因此cosx-sinx=-2sin

x-

. 根據(jù)此法化簡-sinx-cosx=-（sinx+cosx）=-sin

x+

.

這種解法的優(yōu)點是求得輔助角φ很簡單，只要根據(jù)tan=，tan=1，tan=，即可求得銳角φ，無需判斷點（a，b）象限，也就不必記憶規(guī)律（*）了. 從而大大降低了輔助角φ的計算錯誤. 但要注意的是提醒學(xué)生要注意兩個符號，一是sin（x±φ）的系數(shù)可正可負(fù)，實際操作時把含sinx的這部分寫在前面，若sinx的前面是負(fù)號，則添一個含負(fù)號的括號；若是正號，則無需添括號. 二是括號內(nèi)的符號可加可減，與添括號后cosx前的符號一致. 這種做法雖然正確率高，但過于程式化，程式化后容易形成思維定式、套路.

處理方法四：設(shè)φ是銳角，asinx+bcosx=

sinx+cosx

，或者asinx-bcosx=

sinx-cosx

，目的使之轉(zhuǎn)化為兩角和、差的正弦或余弦，即sin（x±φ），sin（φ±x）或cos（x±φ），cos（φ±x）.

這種解法較靈活，無須死記硬背規(guī)律，主要是熟練掌握兩角和差的正弦公式sin（α±β）=sinαcosβ+cosαsinβ和余弦公式cos（α±β）=cosαcosβ?sinαsinβ，記住幾個簡單的特殊的三角函數(shù)值即可. 如cosx-sinx=

cosx-sinx

=

sincosx-cossinx

=sin

-x

，cosx-sinx=

cosx-·sinx

=

coscosx-sinsinx

=cos

+x

. 學(xué)生容易出現(xiàn)的錯誤是將兩角的順序搞錯，錯誤的化簡為sin

x-

. 減少這種錯誤的方法是建議學(xué)生注重轉(zhuǎn)化過程，不要漏步驟.這種解法大大加深了學(xué)生對公式轉(zhuǎn)化的理解，鞏固了已有知識，提高解決問題的能力，不知不覺中滲透了數(shù)學(xué)思想，摒棄了那種無意義的機械訓(xùn)練.

輔助角的教學(xué)處理辦法很多，以上四種方法比較適合中職對口單招教學(xué). 公式教學(xué)中教師應(yīng)重視學(xué)生的生活經(jīng)驗，關(guān)注學(xué)生的原有知識基礎(chǔ)和思維基礎(chǔ)，利用設(shè)計陷阱，經(jīng)歷“試誤”，發(fā)現(xiàn)“錯誤”，小組討論等方式讓學(xué)生經(jīng)歷知識探究的艱難過程. 最后加上適度的數(shù)學(xué)訓(xùn)練幫助學(xué)生加深對數(shù)學(xué)方法、規(guī)律的理解，達(dá)到增強記憶的目的. 至于教學(xué)實際中究竟哪種更適合學(xué)生，哪種方法更能減少學(xué)生的錯誤，這還需要教師多比較、多思考、多實踐. 在此引用陳光立老師的一句話作為結(jié)束語：“教之道在于度，學(xué)之道在于悟.”