淺談命題的幾種形式

吳廷志

命題是判斷一個事實的句子，如“人是會呼吸的”。一個命題由題設和結論兩部分組成的。像上例中的題設是“人”，結論就是“會呼吸的”。對于命題有真命題和假命題兩種。

在數(shù)學中命題的一般形式為“若…則…”，簡記為“若A，則B”或用符號表示為“A”，A就是表達命題的條件，B表達命題的結論。而在幾何中最常用的形式為“已知…求證…”。

在兩個命題中，如果第一個命題的題設是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的題設，這兩個命題叫做互逆命題。如果其中的一個為原命題，則另一個叫做它的逆命題。如“人是會呼吸的”的逆命題就是“會呼吸的是人”。對于原命題的真的話，它的逆命題是不是也一定是真的呢？這是不一定的。如“人是會呼吸的”是真命題，但是“會呼吸的是人”卻是個假命題，因為會呼吸的不一定就是人（動植物也會呼吸）。

在數(shù)學中如是一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個定理。這兩個定理叫做互逆命題，其中一個叫做另一個的逆定理。如勾股定理和它的逆定理。但是也不是所有定理都有逆定理，如定理“兩個三角形全等，則它們的三對對應角相等”，這個定理的逆命題是“三對對應角相等的兩個三角形是全等三角形”，顯然，此逆命題并不成立。

如果把一個命題中的題設和結論都予以否定，又可以構造出一個新命題，這個命題叫做原命題的否命題。對于一個真命題的否命題也不一定是真的。如“人是會呼吸的”的否命題為“不是人是不會呼吸的”。這命題顯然是錯誤的。如“若兩條直線平行則內(nèi)錯角相等”的否命題是“若兩條直線不平行則內(nèi)錯角不相等”，是對的；而“對頂角相等”的否命題“不是對頂角不相等”都是錯誤的。

把原命題中的結論加以否定作為題設，而把原命題中的題設加以否定作為結論時，還可以構造一個新命題，叫做原問題的逆否命題，邏輯學告訴我們：原命題與它的逆否命題是同真同假的，所以使用一個定理的逆否定理時是不需要重新證明的。如“人是會呼吸的”的逆否命題是：“不會呼吸的就不是人”，這是對的。再如幾何中原命題：“等腰三角形兩底角相等”（真），它的逆否命題是“如果一個三角形的兩底角不相等，那么它不是等腰三角形”（真）。

所以由一個命題可以變出四種形式的命題：原命題，逆命題，否命題，逆否命題。其中原命題與逆否命題同真或同假，逆命題與否命題同真或同假。

充分條件、必要條件及充要條件都是重要的數(shù)學概念.它提示了命題的條件和結論的依從關系，由于這三個條件所涉及的抽象思維要求較高.而單純按照定義講授又很難使學生透徹理解各自的本質(zhì)屬性和內(nèi)在聯(lián)系.學生往往對條件的“充分而不必要”及“必要而不充分”難以判別，對“必要條件”不易接受，而充要條件在數(shù)學各分支學科中有著廣泛的應用.因此下面著重談談充分必要條件與命題的關系.這樣做，符合從特殊到一般、從現(xiàn)象到本質(zhì)、從具體到抽象的認識論的原則.我們知道，判斷的語言形式稱為命題，也就是說，命題是陳述事理的語言.它的結構通常分為兩分部分：一部分是條件，另一部分是結論.

在日常生活中經(jīng)常會碰到猜東西的情況，那么肯定是在一定條件下進行的，如果要想猜得對，那么所給出的條件既是足夠的（充分的），又是缺一不可的（必要的）。對于一個事實成立或不成立總是有一定條件的，如“若兩個三角形全等，則兩個三角形的對應角相等”，此命題中的條件就足以保證了結論的實現(xiàn)。因此，若當條件A具備時某事件B必然成立，則稱條件A為條件B的充分條件，即“若A則B”是正確的，A為B的充分條件。如上例中“三角形全等”是“三角形對應角相等”的充分條件。對于一個事實其充分條件不一定是唯一的，如“摩擦生熱”，這里摩擦是生熱的充分條件，但是這條件卻不是唯一的充分條件，因為燃燒也可以生熱。

還記得命題的否命題嗎？一般來說，“若不A則不B”這個命題成立時，則把A叫做B的必要條件。比如“一組對應角相等”是“兩個三角形全等”的必要條件，這是因為在兩個三角形中，若有一組對應角不相等，則兩個三角形必然不是全等三角形。對于必要條件不一定能夠保證結論的成立，但又不允許去掉，否則就必然導致結論不能成立，而且必要條件不可以用其他條件來代替。

在幾何學中用得最多的是充分必要條件，簡稱充要條件。如在“若一個三角形頂角平分線是底邊上的中線，則這個三角形是等腰三角形”中，“頂角平分線與底邊中線重合”是“等腰三角形”的充分條件，也是必要條件，所以是充分必要條件。要證明一個命題的條件是充要條件，就需要證明原命題和逆命題都是真的。

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