定積分的幾何意義在定積分計(jì)算中的應(yīng)用

楊磊，景宇哲

（1.大連財(cái)經(jīng)學(xué)院基礎(chǔ)部，遼寧大連116000；2.大連經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)第一中學(xué)，遼寧大連116000）

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定積分的幾何意義在定積分計(jì)算中的應(yīng)用

楊磊，景宇哲

（1.大連財(cái)經(jīng)學(xué)院基礎(chǔ)部，遼寧大連116000；2.大連經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)第一中學(xué)，遼寧大連116000）

摘要：利用定積分的幾何意義計(jì)算定積分，使計(jì)算化繁為簡(jiǎn)，拓寬了解題思路.

關(guān)鍵詞：定積分；幾何意義；不等式

1　定積分的幾何意義

定積分起源于求不規(guī)則圖形的面積和體積等實(shí)際問(wèn)題.古希臘的阿基米德用“窮舉法”，我國(guó)的劉徽用“割圓術(shù)”，都曾計(jì)算過(guò)一些幾何體的面積和體積，這些均為定積分的雛形.直到17世紀(jì)中葉，牛頓和萊布尼茲先后提出了定積分的概念，并發(fā)現(xiàn)了定積分與微分之間的內(nèi)在聯(lián)系，給出了定積分計(jì)算的一般方法，從而才使定積分成為解決有關(guān)實(shí)際問(wèn)題的有力工具.

定積分的概念是一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)，因?yàn)槎ǚe分是一個(gè)特殊的極限過(guò)程，與之前的數(shù)列極限和函數(shù)極限有很大區(qū)別.闡述定積分概念的經(jīng)典引例是求曲邊梯形的面積，而這個(gè)引例很好地闡述了定積分的幾何意義.通過(guò)定積分的幾何意義，把一個(gè)抽象的定積分運(yùn)算與形象的幾何圖形結(jié)合在一起，使學(xué)生對(duì)概念的理解更加深刻.因?yàn)槎ǚe分的性質(zhì)都可以用它的幾何意義進(jìn)行很好的解釋?zhuān)苑爆嵉亩ǚe分計(jì)算和定積分的抽象證明，都可以試著從它的幾何意義這個(gè)角度來(lái)考慮問(wèn)題，往往會(huì)得到簡(jiǎn)便快捷的解題方法.

圖1定積分的幾何意義

由定積分的幾何意義可以看出，定積分的值等于由被積函數(shù)所圍圖形面積的代數(shù)和.如果已知被積函數(shù)的圖像，由此曲線(xiàn)所圍的圖形是規(guī)則的或是可以通過(guò)“割補(bǔ)法”湊成規(guī)則圖形，那么定積分也可以從被積函數(shù)所圍的幾何圖形的面積中求得.

2　利用定積分的幾何意義求定積分

例1［2］設(shè)a＞1，求證：.

方法1求證的等式左側(cè)直接通過(guò)積分的計(jì)算方法，利用牛頓-萊布尼茲公式可以得到等式右側(cè)的結(jié)果.

方法2等式左側(cè)第1個(gè)積分的被積函數(shù)為y=lnx（1≤x≤a），積分變量是x，第2個(gè)積分的被積函數(shù)為x=ey（0≤y≤lna），積分變量是y.通過(guò)觀(guān)察，這2個(gè)被積函數(shù)互為反函數(shù)，它們的圖像是同一條曲線(xiàn)，并且積分上、下限均對(duì)應(yīng)彼此的定義域（見(jiàn)圖2）.根據(jù)定積分的幾何意義，由曲線(xiàn)lnx，x=1，x=a及x軸所圍的圖形與由曲線(xiàn)ey，y=0，y=lna及y軸所圍的圖形正好組合成一個(gè)矩形，而矩形的面積等于這2個(gè)定積分的和.

證明陰影矩形的面積等于aln a，矩形被分成A和B 2部分（見(jiàn)圖2），A的面積等于，B的面積等于，于是得到=alna.

可以將這個(gè)具體的結(jié)論推廣到一般情形.

命題［3］設(shè)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［a，b］（0＜a＜b）上非負(fù)且單調(diào)增加，反函數(shù)為x=f-1（y），則有（y）dy=bf（b）-af（a）.

證明因?yàn)閒（x）與f-1（y）互為反函數(shù)，而［a，b］和［f（a），f（b）］分別是函數(shù)f（x）的定義域和值域（或反函數(shù)f-1（y））的值域和定義域），函數(shù)f（x）與f-1（y）的圖像是同一條曲線(xiàn)（見(jiàn)圖3）.因此，f（x）與f-1（y）在各自區(qū)間上定積分的和等于陰影部分的面積，陰影圖形的面積等于bf（b）-af（a），即（y）dy=bf（b）-af（a）.

這一類(lèi)定積分的特點(diǎn)是被積函數(shù)單調(diào)遞增，存在反函數(shù).函數(shù)f（x）與其反函數(shù)f-1（y）的定積分的和可以轉(zhuǎn)化成求規(guī)則圖形的面積.

圖2例1題解圖示

圖3命題圖示

圖4例2題解圖示

3　利用定積分的幾何意義證明不等式

在不等式的證明中，可以根據(jù)不等式中函數(shù)的特點(diǎn)，結(jié)合定積分的幾何意義，提供一些解題技巧，使證明變得簡(jiǎn)單.

例4［4］若a＞b＞0，求證：ln a-ln b .

圖5例3題解圖示

圖6例4題解圖示

圖7例5題解圖示

可以看出，定積分的幾何意義可以將復(fù)雜、抽象的函數(shù)關(guān)系變得簡(jiǎn)單、直觀(guān).而解決不等式證明的關(guān)鍵就在于將不等式的一端函數(shù)轉(zhuǎn)化成曲邊梯形的面積，另一端函數(shù)轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形的面積（如矩形、三角形和直邊梯形等），然后再利用熟悉的方法來(lái)解決問(wèn)題.根據(jù)函數(shù)表達(dá)式的特點(diǎn)，利用定積分的幾何意義可以把問(wèn)題的數(shù)與形很好地結(jié)合在一起［5-8］.

參考文獻(xiàn)：

［1］張順燕.數(shù)學(xué)的思想、方法和應(yīng)用［M］.北京：北京大學(xué)出版社，2002：332

［2］王志超.高等數(shù)學(xué)輕松學(xué)［M］.北京：北京航空航天大學(xué)出版社，2015：109

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The application of the geometric meaning of definite integral in the definite integral calculation

YANG Lei，JING Yu-zhe
（1. Department of Basic Course，Dalian University of Finance and Economics，Dallian 116000，China；2. No.1 Middle School of Dalian Economic and Technological Development Zone，Dalian 116000，China）

Abstract：Researched the calculation of definite integral using the geometric meaning of the definite integral，it make the calculation simple，increase the problem solving methods.

Key words：definite integral；geometric meaning；inequation

中圖分類(lèi)號(hào)：O175.12∶G642.0

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2016.05.015

文章編號(hào)：1007-9831（2016）05-0051-04

收稿日期：2016-03-04

基金項(xiàng)目：黑龍江省高等教育教學(xué)改革項(xiàng)目（JG2014010966）

作者簡(jiǎn)介：楊磊（1979-），女，黑龍江哈爾濱人，講師，碩士，從事計(jì)算數(shù)學(xué)研究.E-mail：dfxyjcbyl@126.com