關(guān)于定積分換元定理?xiàng)l件的思考

楊立軍

【摘要】定積分的換元法是通過(guò)變量代換實(shí)現(xiàn)從繁到簡(jiǎn)、從難到易、從未知向已知轉(zhuǎn)化的有效計(jì)算方法.本文針對(duì)不同教材對(duì)定積分換元定理提出不同條件的情況，提出自己的思考供大家探討.

【關(guān)鍵詞】定積分；換元法定理；換元法條件

為了正確把握定積分換元定理的使用條件，本人查閱了大量的高數(shù)教材，發(fā)現(xiàn)不同的教材對(duì)定積分換元法定理表述各有不同，差別主要表現(xiàn)在所要求的條件不同.在此作者通過(guò)對(duì)換元法定理證明過(guò)程和實(shí)例的分析提出個(gè)人對(duì)定積分換元條件的看法.

一、定積分換元定理?xiàng)l件分析

定積分換元法定理的證明的依據(jù)是牛頓—萊布尼茲公式.本人通過(guò)定積分換元法定理的證明過(guò)程分析發(fā)現(xiàn)，換元公式成立的不可或缺條件是：①函數(shù)f（x）在[a，b]上連續(xù)；②函數(shù)x=φ（t）在[α，β]（或[β，α]）上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)φ′（t）；③φ（α）=a，φ（β）=b.但在不同的教材中，除此三個(gè)條件外還提出了如：t在[α，β]（或[β，α]）變動(dòng)時(shí)，x=φ（t）的值在[a，b]上變動(dòng)其值不越出[a，b]范圍；x=φ（t）在[α，β]（或[β，α]）上單值或單調(diào)或單值且單調(diào)等條件.這些條件是否真的必需？下面通過(guò)幾則實(shí)例來(lái)加以驗(yàn)證說(shuō)明.

二、定積分換元定理實(shí)例分析

實(shí)例1 計(jì)算∫a0a2-x2dx（a>0）.令x=asint，此函數(shù)單值、不單調(diào)，符合換元三條件.但x=0時(shí)，滿(mǎn)足條件“φ（α）=a”的α取值有許多：α=kπ（k∈Z）；同樣，x=a時(shí)，滿(mǎn)足條件“φ（β）=b”的β取值也有許多：β=2kπ+π2（k∈Z），即符合定理的解法有很多.且只要是設(shè)x=asint，則總有∫a2-x2dx=a2∫costcostdt.

在解法1中，當(dāng)t在[-1，3]變動(dòng)時(shí)，當(dāng)t=0時(shí)，x=54已超出了[-1，1]的范圍，沒(méi)影響結(jié)論的正確性.解法2中，由于所選換元區(qū)間保證了替代函數(shù)的單值和單調(diào)，相對(duì)要簡(jiǎn)捷一些.

實(shí)例3 求∫2-1x2dx，若令x2=t，則替代函數(shù)x=±t不單值也不單調(diào).

從定積的換元定理的證明過(guò)程所需要的條件和上面實(shí)例的分析討論知，原則上講，定積分的換元只要滿(mǎn)足“函數(shù)f（x）在[a，b]上連續(xù)；函數(shù)x=φ（t）在[α，β]（或[β，α]）上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)φ′（t）；φ（α）=a，φ（β）=b”三個(gè)條件即可，并不需強(qiáng)調(diào)替代函數(shù)的單值和單調(diào)性和它的值域范圍.但在實(shí)際應(yīng)用中，如果換元的過(guò)程中能為替代函數(shù)選取一個(gè)適當(dāng)?shù)南鄳?yīng)區(qū)間來(lái)保證其單值、單調(diào)性（或通過(guò)切分積分區(qū)間為部分區(qū)間來(lái)保證替代函數(shù)的單值、單調(diào)性）來(lái)實(shí)施換元，則不僅可使換元法的使用快捷、方便，而且可避免出錯(cuò).

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