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    無窮和式極限解法之我見

    2016-10-12 15:06:29李志文陳勇
    考試周刊 2016年75期
    關(guān)鍵詞:定積分級數(shù)

    李志文++陳勇

    摘 要: 本文深入研究了無窮和式極限的解法,給出了該類極限求解思路,并結(jié)合大量案例,采用初等變形、夾逼定理、第二重要極限、定積分概念、級數(shù)及其和函數(shù)等微積分知識求解了無窮和式極限問題.

    關(guān)鍵詞: 初等變形 夾逼定理 定積分 第二重要極限 級數(shù)

    無窮和式極限問題是微積分的重難點內(nèi)容,其題目具有較強的綜合性和復(fù)雜性,是各級考試和競賽的重要考點,常用來考查學(xué)習(xí)者的微積分運算能力,并以此衡量其高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)水平.

    無窮和式極限的求解方法多種多樣且富于變化。在無窮和式極限中,由于待求極限函數(shù)是無窮多項之和,自然讓人想到可利用級數(shù)知識求解;很多無窮和式極限往往是數(shù)列極限,可以先對分式進行放縮處理,再采用夾逼定理求解;還有一些無窮和式極限題目需要利用湊項、裂項、拆項相消等技巧,對待求極限函數(shù)采用高斯公式、等比數(shù)列前n項和公式、三角變形及其他公式進行初等變形,化簡題目后再求解;而某些特殊類型題目,則可以結(jié)合待求極限函數(shù)的特點,利用定積分概念、第二重要極限求極限??偠灾?,無窮和式極限的題目體現(xiàn)出題目難、方法多、思路巧等特點,常常構(gòu)思巧妙、趣味無窮。下面通過實例詳細介紹無窮和式極限的多種求解方法。

    解法1.初等變形法

    【原理】用初等運算、變量代換、恒等變形等方法將極限式化簡,再結(jié)合其他方法求解。

    【小結(jié)】無窮和式極限問題因其形式的復(fù)雜性和多樣性,決定了極限求法的多元化和綜合性。

    需要特別說明的是,在具體問題的求解中常常需要將以上方法混合使用,比如,初等變形時往往需要湊項、裂項,并結(jié)合拆項相消法求解極限;夾逼定理常常和定積分法搭配使用;而級數(shù)的和概念常常伴隨著初等變形使用,等等。總之,學(xué)習(xí)者需多加訓(xùn)練方可熟能生巧。

    參考文獻:

    [1]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(第六版上冊).高等教育出版社,2007.4(第六版).

    [2]吳傳生.經(jīng)濟數(shù)學(xué)——微積分.高等教育出版社,2009.4(第2版).

    [3]李軍英,劉碧玉,韓旭里.微積分(上冊)(第二版).北京:科學(xué)出版社,2008.7(第二版).

    [4]孫洪祥,王曉紅.高等數(shù)學(xué)難題解題方法選講.機械工業(yè)出版社,2003.6(2015.7重?。?

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