一階常微分方程數(shù)值解中四種算法的實例比較

魏明強

(中國傳媒大學理工學部，北京 100024)

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一階常微分方程數(shù)值解中四種算法的實例比較

魏明強

(中國傳媒大學理工學部，北京 100024)

摘要：常用的求解一階常微分方程初值問題的單步方法有：Euler法、梯形法、Taylor級數(shù)法、Rungue-Kutta法。本文借助VC軟件，用四種方法求一個實例方程的數(shù)值解，通過比較求解結(jié)果來分析驗證四種解法的誤差精度。

關(guān)鍵詞：常微分方程；數(shù)值解；Euler法

1引言

本文討論的是一階常微分方程初值問題的數(shù)值求解。

其中f為t和u的已知函數(shù)，u0為給定的初值。該初值問題滿足Lipschitz條件。

2利用四種方法求解實例

本文將以下面的一階常微分方程為例子，利用四種方法求其數(shù)值解。

在求解該方程的過程中，選取步長h=0.1，利用四種方法求解該方程在t=0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，0.6，0.7，0.8，0.9等九個點處的數(shù)值解，將數(shù)值解的結(jié)果與其解析解的結(jié)果做分析比較，來驗證四種方法的截斷誤差與誤差精度。

2.1求解析解

該方程是簡單的一階常微分方程，求解過程如下：

2.2Euler法的求解

Euler法的計算公式un+1=un+hf(tn，un)

2.3梯形法的求解

2.4Taylor法的求解

2.5RK法的求解

其中K1，K2，K3，K4的值如下：

3四種方法求解的效果比較

本文利用VC6.0軟件，求解該實例方程。

利用四種求數(shù)值解的方法求其在區(qū)間[0，1)以內(nèi)的數(shù)值解，在這里設(shè)置步長h=0.1。

各種方法求解的結(jié)果如表1。

表1　四種解法的數(shù)值解

其效果從圖1可以很直觀的看出。RK方法和Taylor方法與解析解的值最為接近。近似度最差的就是一階的Euler法，它的數(shù)值解與解析解相差最大，二階的梯形法效果優(yōu)于Euler法，但仍然很明顯的弱于Taylor法和RK法。

圖1　數(shù)值解與解析解效果比較

四種方法的數(shù)值解與其解析解的誤差如表2。

從表2中，可以明顯的看出RK方法的優(yōu)越性，再此例中的RK法是四步四階方法，Taylor法也是四階方法，梯形法是二階方法，Euler法是一階方法。兩種四階方法的計算精度明顯高于二階方法和一階方法。

從圖2也可以很直觀的看出，RK方法求得的數(shù)值解的值是相當接近于數(shù)值解的，其誤差幾乎趨近于0。Euler法逐步求解過后，其數(shù)值解逐漸偏離解析解。在誤差絕對值的效果圖中，同樣可以很明顯的看出各種方法的精度依次是：RK方法、Taylor法、梯形法、Euler法。

表2　四種方法的誤差

圖2　誤差絕對值

從編程代碼來看，Taylor法和RK法的計算量明顯比Euler法和梯形法多。Taylor法的計算量比RK法增加了，但是其運算精度沒有提高。因此綜合運算量和運算精度，四步四階的RK法的優(yōu)越性明顯于其他方法。

4結(jié)論

本文利用四種方法，對實例給出的一階常微分方程求解后，通過比較分析數(shù)值解與解析解的結(jié)果，以及數(shù)值解的誤差來分析四種常用求解微分方程數(shù)值解的求解效果。分析結(jié)果表明：RK方法在保證計算量的基礎(chǔ)上仍然具有很好精度。Euler法和梯形法的計算過程雖然簡潔，但是誤差很大。Taylor級數(shù)法的計算量相對四步四階的RK方法增加了，精度卻沒有提高。

參考文獻

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(責任編輯：王謙)

The Comparison of Four Methods on the First Order Ordinary Differential Equation Numerical Solution

WEI Ming-qiang

(School of Sciences，Communication University of China，Beijing 100024，China)

Abstract：The single step method for solving the initial value problem of ordinary differential equation is：Euler method，trapezoidal method，Taylor series method，Rungue-Kutta method.In this paper，we use VC software to find the numerical solution of a practical example equation with four methods，and analyze the accuracy of the four methods by comparing the results.

Keywords：ordinary differential equation；numerical solution；euler method

收稿日期：2015-11-05

作者簡介：魏明強(1991-)，男(漢族)，江西南昌人，中國傳媒大學理工學部碩士研究生.E-mail：weimingqiang@cuc.edu.cn

中圖分類號：O241.81

文獻標識碼：A

文章編號：1673-4793(2016)02-0041-04