泰勒有限差分方法數(shù)值求解常微分方程

張雨濃　李樂　丁亞瓊　張銀炎　李東

摘要：本文提出一種新的更高精度的泰勒有限差分公式并且應(yīng)用于求解常微分方程。這種應(yīng)用泰勒有限差分公式來求解常微分方程的方法稱為泰勒有限差分方法。此外，出于比較的目的，使用歐拉方法求解常微分方程的算法流程也被提及，并且在MATLAB軟件平臺(tái)進(jìn)行了兩組對(duì)比性的數(shù)值實(shí)驗(yàn)。兩組對(duì)比性的數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果均表明，使用泰勒有限差分方法求解常微分方程的精度要比使用歐拉方法求解常微分方程的精度更高。后續(xù)可以應(yīng)用該方法去開發(fā)常微分方程數(shù)值求解器的軟件。

關(guān)鍵詞：常微分方程；泰勒有限差分方法；歐拉方法；精度；數(shù)值實(shí)驗(yàn)

中圖分類號(hào)：0241.81 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.3969/j.issn.1003-6970.2016.05.001

本文著錄格式：張雨濃，李樂，丁亞瓊，等.泰勒有限差分方法數(shù)值求解常微分方程[J].軟件，2016，37（5）：01-06

0.引言

在現(xiàn)實(shí)生活中人們能夠在已有的理論或經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上得到一個(gè)問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系，這對(duì)于解決這個(gè)問題來說是十分重要的，但是在一些相對(duì)較為復(fù)雜（或者說十分復(fù)雜）的問題中，我們是沒有辦法直接得到這些問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系，然而卻能得到這些問題中一些變量以及其導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，也即找到一個(gè)含有未知函數(shù)以及未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的方程，我們稱這個(gè)方程為常微分方程。然后我們通過對(duì)這個(gè)常微分方程進(jìn)行數(shù)值計(jì)算來達(dá)到了解這個(gè)問題的變化規(guī)律的目的。

眾所周知，研究和揭示客觀世界中物質(zhì)運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律的量與量之間的關(guān)系，在人類戰(zhàn)勝自然并通過利用自然來促進(jìn)社會(huì)與經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展的過程中起到了十分重要的作用?？茖W(xué)家們總是通過運(yùn)用常微分方程來研究和揭示客觀世界中物質(zhì)運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律的量與量之間在某種特定的條件下存在的某種內(nèi)在關(guān)系。常微分方程在揭示和研究物質(zhì)運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律中發(fā)揮著十分重要的作用。因此對(duì)常微分方程進(jìn)行深入研究具有一定程度上的實(shí)際工程應(yīng)用意義以及價(jià)值。

作為現(xiàn)代應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個(gè)十分重要的分支，常微分方程在現(xiàn)實(shí)生活中的許多方面得到了十分廣泛地應(yīng)用。正是這些應(yīng)用極大的促進(jìn)了常微分方程的發(fā)展，同時(shí)也吸引了眾多領(lǐng)域（如機(jī)器學(xué)習(xí)、自動(dòng)化控制以及人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)）的研究者對(duì)常微分方程進(jìn)行研究。在實(shí)際工程應(yīng)用中，我們通常通過對(duì)所遇到的問題進(jìn)行簡(jiǎn)化來建立常微分方程模型，并通過求解該常微分方程模型以達(dá)到了解這個(gè)在實(shí)際工程中所遇到的問題的變化趨勢(shì)的目的。然而在許多實(shí)際工程應(yīng)用所遇到的問題中的常微分方程大多無法用解析方法求解出其理論解（或者說解析解），因此對(duì)常微分方程的數(shù)值解法進(jìn)行深入研究就顯得非常重要以及非常必要。當(dāng)前，已經(jīng)有許多數(shù)值解法被不同領(lǐng)域的專家學(xué)者提出，如歐拉方法、阿當(dāng)姆斯方法以及龍格一庫塔方法。