基于常微分方程的數(shù)學(xué)建模問(wèn)題的求解

徐薇薇

摘 要：隨著微積分理論的發(fā)展，常微分方程成為極具應(yīng)用價(jià)值的學(xué)科，基于常微分方程的數(shù)學(xué)模型在眾多領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用?；诔Ｎ⒎址匠痰臄?shù)學(xué)模型，通過(guò)常微分方程理論對(duì)實(shí)際生活中的復(fù)雜問(wèn)題進(jìn)行刻畫(huà)，建立數(shù)學(xué)模型，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)問(wèn)題的求解。本文中對(duì)基于常微分方程的數(shù)學(xué)建模問(wèn)題的求解展開(kāi)研究，歸納總結(jié)了常微分方程的模型建立的方法，并給出了大量實(shí)例對(duì)其應(yīng)用展開(kāi)研究，并重點(diǎn)對(duì)人口預(yù)測(cè)和傳染病模型的求解問(wèn)題，結(jié)合實(shí)例進(jìn)行了介紹。

關(guān)鍵詞：常微分方程；數(shù)學(xué)建模；人口預(yù)測(cè)；傳染病

1 引言

方程是數(shù)學(xué)學(xué)科的重點(diǎn)內(nèi)容之一，如線(xiàn)性方程、對(duì)數(shù)方程等，在一些實(shí)際問(wèn)題的求解方面有著十分重要的應(yīng)用，但是依舊存在許多的問(wèn)題無(wú)法通過(guò)初等數(shù)學(xué)中的一些常見(jiàn)方程進(jìn)行刻畫(huà)和求解。一般來(lái)說(shuō)，微分方程就是聯(lián)系自變量、未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些導(dǎo)數(shù)或微分的關(guān)系式。數(shù)學(xué)建模是利用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題的一種實(shí)踐。即通過(guò)抽象、簡(jiǎn)化、假設(shè)、引進(jìn)變量等處理過(guò)程后，將實(shí)際問(wèn)題用數(shù)學(xué)方式表達(dá)，建立起數(shù)學(xué)模型。而由于常微分方程能夠有效地對(duì)復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行刻畫(huà)，因此在數(shù)學(xué)建模問(wèn)題的求解方面有著十分廣泛的應(yīng)用。

2 常微分方程模型

微分方程與物理、天文學(xué)以及日異月新的科學(xué)技術(shù)有著密切的聯(lián)系。微分方程是自變量、未知函數(shù)及函數(shù)的導(dǎo)數(shù)組成的關(guān)系式。在反映客觀現(xiàn)實(shí)世界運(yùn)動(dòng)過(guò)程的量與量之間的關(guān)系中，大量存在滿(mǎn)足微分方程關(guān)系似的數(shù)學(xué)模型，需要我們通過(guò)求解常微分方程來(lái)了解未知函數(shù)的性質(zhì)。構(gòu)造常微分方程的數(shù)學(xué)模型有如下幾種方法：

（1）運(yùn)用已知的基本定律或基本公式建立常微分方程模型

主要利用各學(xué)科中已知的定理或定律來(lái)建立的。如力學(xué)中萬(wàn)有引力定律等。

（2）利用導(dǎo)數(shù)的定義建立微分方程模型

（3）利用微元法建立常微分方程模型

（4）模擬近似

模擬近似是在事物發(fā)展的規(guī)律不很清楚的復(fù)雜問(wèn)題中常用的方法，該過(guò)程往往是近似的，需要對(duì)最后的求得的解進(jìn)行分析，將計(jì)算結(jié)果與實(shí)際相比較是否符合實(shí)際。

3 常微分方程求解數(shù)學(xué)建模問(wèn)題

3.1 基于常微分方程的經(jīng)典數(shù)學(xué)建模問(wèn)題

用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)對(duì)研究目標(biāo)隨時(shí)間變化過(guò)程進(jìn)行描述，建立的動(dòng)態(tài)模型就是微分方程模型。微分方程模型的建立通常是依據(jù)物理、化學(xué)、工程科學(xué)等中的基本原理，待定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的數(shù)學(xué)關(guān)系式表示出來(lái)。下面我們由淺入深地介紹一些微分方程模型。

例1 細(xì)菌群落增長(zhǎng)問(wèn)題

已知初始時(shí)刻細(xì)菌群落的總數(shù)為y0，T時(shí)刻為yT，求解0～T時(shí)刻內(nèi)任意時(shí)間細(xì)菌數(shù)量。

例3 紅綠燈問(wèn)題

交通紅綠燈在人們生活中有著重要的作用，其中黃色指示燈對(duì)保障交通安全發(fā)揮了重要作用，那么黃燈持續(xù)時(shí)間多長(zhǎng)為宜？

分析：駕駛員看到黃色信號(hào)燈后立即做出決定是否停車(chē)。若停車(chē)，則需要判斷停車(chē)距離是否滿(mǎn)足條件，該條件是由速度決定的。而已經(jīng)過(guò)線(xiàn)無(wú)法停住的車(chē)輛，黃燈需留有一定的時(shí)間保障其能夠通過(guò)。據(jù)此，對(duì)上述問(wèn)題進(jìn)行求解：

（1）根據(jù)法定最高限速v0計(jì)算停車(chē)線(xiàn)位置，使得停車(chē)線(xiàn)到路口的距離滿(mǎn)足剎車(chē)需求；

（2）根據(jù)停車(chē)線(xiàn)和速度v0計(jì)算黃燈持續(xù)時(shí)間。

如上圖所示，綠色曲線(xiàn)為實(shí)際人口統(tǒng)計(jì)，藍(lán)色為指數(shù)模型預(yù)測(cè)結(jié)果，紅色為阻滯增長(zhǎng)模型預(yù)測(cè)結(jié)果?？梢?jiàn)，指數(shù)模型在19世紀(jì)以前預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際基本吻合，但是之后的預(yù)測(cè)值大大超過(guò)實(shí)際值。而阻滯增長(zhǎng)模型具有較高的預(yù)測(cè)精度，符合實(shí)際變化規(guī)律。

3.3 基于常微分方程的傳染病預(yù)測(cè)模型

目前，大多數(shù)傳染病模型都是對(duì)由Kermark和MeKendrick所建立的SIR模型的修正而得到的。SIS模型中染病者康復(fù)后可以再次被感染；SIR模型中康復(fù)者后獲得終身免疫力：而SIRS模型中康復(fù)者有暫時(shí)免疫力，一段時(shí)間后重新成為易感者。下面，本文以北京市SARS傳播為研究對(duì)象，建立傳染病模型進(jìn)行分析研究。SARS的傳播可以分為三個(gè)階段：

（1）控制前的自然傳播模式階段。

（2）過(guò)渡期階段，政府采取隔離措施前的一段時(shí)期內(nèi)。

（3）控制階段，即政府采取隔離治療措施階段。

4 小結(jié)

本文對(duì)常微分方程模型在數(shù)學(xué)模型中的應(yīng)用進(jìn)行了研究分析，對(duì)建立微分方程的方法進(jìn)行了介紹，并給出了生物學(xué)、社會(huì)科學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)、物理學(xué)、醫(yī)學(xué)等多個(gè)學(xué)科的實(shí)例，基于常微分方程建立相關(guān)數(shù)學(xué)模型對(duì)實(shí)例中的問(wèn)題進(jìn)行了求解。隨著社會(huì)的進(jìn)步和發(fā)展，基于常微分方程的數(shù)學(xué)模型對(duì)解決復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題發(fā)揮著日益重要的作用。

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