常微分方程的教學(xué)探討

陳春濤

摘 要： 常微分方程是一門重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，作者結(jié)合教學(xué)經(jīng)驗，對常微分方程的教學(xué)方法進(jìn)行初步探討。

關(guān)鍵詞： 常微分方程 教學(xué)方法 數(shù)學(xué)建模 線性代數(shù) 微課

在自然科學(xué)和社會科學(xué)的研究中，許多現(xiàn)象及事物發(fā)展的規(guī)律都可用數(shù)學(xué)模型表示出來，而常微分方程是數(shù)學(xué)建模中最基本的工具。同時，又是應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)一門重要的基礎(chǔ)課，對先修課程及后續(xù)相關(guān)課程起到承上啟下作用?，F(xiàn)我對于怎樣教好常微分方程這門課以達(dá)到該課程教學(xué)目的，提高教學(xué)質(zhì)量，談?wù)勔恍w會和看法。

一、讓學(xué)生了解常微分方程課程的特點，認(rèn)識到學(xué)好該課程的重要意義。

常微分方程是學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)理論后續(xù)課程的基礎(chǔ)，這些課程包括數(shù)理方程、微分幾何、泛函分析等。課程本身既有嚴(yán)密的邏輯性，又有一定的應(yīng)用性，但目前高校常微分方程課程大多還停留在傳統(tǒng)教師主講形式，偏理論，輕應(yīng)用，使學(xué)生極易產(chǎn)生排斥心理。因此，講授這門課內(nèi)容之前，教師不妨先利用一些簡單的物理、生物和化學(xué)等相關(guān)學(xué)科的模型引入，讓學(xué)生深刻認(rèn)識到這門課是解決實際問題的有力工具，提高學(xué)生對課程的興趣。

二、培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

教師要注意采用多種教學(xué)方法，不能為了趕教學(xué)進(jìn)度直接把定義、定理、證明一一搬出來，使學(xué)生陷入枯燥的學(xué)習(xí)中，進(jìn)而失去學(xué)好這門課的興趣。因此，教師在教學(xué)過程中既要充分發(fā)揮自身的主導(dǎo)作用，又要讓學(xué)生積極、主動地參與到教學(xué)中。比如，學(xué)習(xí)了二階常系數(shù)線性方程的求解后，可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)中學(xué)時接觸過的單擺問題，先讓他們嘗試建立簡單的物理模型并加以討論，由此得到出現(xiàn)簡諧振動、共振現(xiàn)象的條件。

三、根據(jù)授課對象，對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行適當(dāng)增減，教學(xué)難度應(yīng)有所不同。

學(xué)生所學(xué)的專業(yè)對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的要求不盡相同，因此，教師應(yīng)該根據(jù)學(xué)生專業(yè)選擇授課內(nèi)容。比如，若授課對象是應(yīng)用數(shù)學(xué)或數(shù)理專業(yè)的學(xué)生，則除了要求掌握常微分方程的計算技巧外，還應(yīng)強調(diào)基本數(shù)學(xué)定理的證明。若授課對象為金融數(shù)學(xué)專業(yè)，常微分方程的作用主要體現(xiàn)在應(yīng)用上，因此教師在授課中應(yīng)側(cè)重數(shù)值計算，復(fù)雜的定理推導(dǎo)可以僅介紹證明思路。此外，若教師在平時工作中注意收集相關(guān)實際案例，把這些案例引入各類專業(yè)課堂教學(xué)中，則對促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性提高起到至關(guān)重要的作用。

四、注意本課程與其他課程的相互滲透。

常微分方程教學(xué)內(nèi)容中，計算占了很大比例，而課程本身就是結(jié)合線性代數(shù)、解析幾何等相關(guān)數(shù)學(xué)知識解決數(shù)學(xué)理論和其他學(xué)科中出現(xiàn)的微分方程問題。因此，教學(xué)中，除了讓學(xué)生掌握基本計算方法外，還要注意與其他課程的相互滲透。如學(xué)習(xí)求解常系數(shù)線性方程組的基解矩陣這部分內(nèi)容時，若方程組的系數(shù)矩陣A（設(shè)為n階）恰好有n個線性無關(guān)的特征向量，則可直接利用課本上的定理寫出其基解矩陣。此外，還可引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)線性代數(shù)的知識知A可對角化，則通過可逆的線性變換必能將系數(shù)矩陣化為對角形，使得方程組的求解易于進(jìn)行。

五、結(jié)合運用多媒體技術(shù)。

傳統(tǒng)的教學(xué)方法以板書為主，但是由于常微分方程這門課中定理的理論證明比較多，一味板書和講授會讓學(xué)生產(chǎn)生厭煩心理。因此，教師應(yīng)該把傳統(tǒng)教學(xué)方式與現(xiàn)代教學(xué)手段結(jié)合起來，借助多媒體把板書內(nèi)容適當(dāng)變得有趣一些。如學(xué)習(xí)解的延拓時，可以用動態(tài)畫面把這部分內(nèi)容展現(xiàn)出來，讓學(xué)生在腦海里有較為直觀的印象，接著引導(dǎo)學(xué)生思考、總結(jié)方程的解向左右兩邊延拓的情形究竟如何，最后教師對學(xué)生總結(jié)出的內(nèi)容給予相應(yīng)修改、補充。這樣教師既可以較為輕松地把抽象的定理內(nèi)容傳授給學(xué)生，又可以讓學(xué)生參與到課堂討論中。

六、將微課形式融入教學(xué)中。

近年來，微課在我國發(fā)展很快，這一新的教學(xué)形式逐漸成為教育信息化的熱點之一。它不同于傳統(tǒng)課程，主要以教學(xué)視頻為表現(xiàn)形式，具有內(nèi)容少而精的特點。由于常微分方程課時的限制，教師不可能將課程全部內(nèi)容都在課堂教學(xué)中呈現(xiàn)出來，而且有些較難的知識點通過教師的講授可能還有部分學(xué)生無法掌握。因此，教師可根據(jù)課程內(nèi)容的特點，將微課適當(dāng)引入教學(xué)中。例如，講授求常系數(shù)線性方程組基解矩陣這一部分內(nèi)容時，在課堂上教師主要介紹根據(jù)空間分解理論所得的基本計算公式，至于其他計算方法，如利用約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形，以及利用哈密杜頓-凱萊定理的方法，教師可將其錄制成微課放在網(wǎng)上，供感興趣的學(xué)生自行學(xué)習(xí)。這樣可以讓學(xué)生充分利用課余時間學(xué)習(xí)這門課，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和創(chuàng)造性。但需要注意的是，微課只是教學(xué)輔助手段，并不是所有常微分方程的知識都適合制作成微課，因此在知識點選擇上還需教師反復(fù)推敲，在教學(xué)中適當(dāng)融入微課，才能達(dá)到提高教學(xué)質(zhì)量的目的。

常微分方程是一門重要的基礎(chǔ)課程，隨著科技進(jìn)步，高校教師應(yīng)緊跟時代前進(jìn)步伐，更好地設(shè)置教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)模式，盡可能深入淺出地講授這門課程。

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基金項目：2015年度廣西高等教育本科教學(xué)改革工程項目（2015JGA134）