一類四階常微分方程解的存在性和非共軛性

于中洋

(北京理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，北京 100081)

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一類四階常微分方程解的存在性和非共軛性

于中洋

(北京理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，北京 100081)

摘要：文章主要討論了一類四階常微分方程u(4)+u(2)-m4u=0解的存在條件，非共軛以及相關(guān)性質(zhì)。

關(guān)鍵詞：四階常微分方程；解的存在性；非共軛性

1引言

彈性梁是現(xiàn)代飛機(jī)、橋梁、輪船、建筑等的基本結(jié)構(gòu)之一，人們常用的刻畫彈性梁狀態(tài)的數(shù)學(xué)模型是四階微分方程，如下式：

u(4)=f(x，u，u′，u″)，x∈(0，1)

上式被附加各種邊值或初值條件后，能很好地描述彈性梁的各種狀態(tài)。這里我們考慮描述兩端固定反映梁的靜止?fàn)顟B(tài)的一類四階常微分方程，如下：

(1)

該微分方程只有唯一參數(shù)m。本文由四階常微分方程的通解和馬爾科夫基本解系出發(fā)，研究m在什么范圍內(nèi)取值時(shí)問題(1)的解存在并且具有非共軛性質(zhì)。

2解的存在條件

定理 1設(shè)m1是下式的第一正根

(m1≈4.68952)。那么問題(1)在0≤mm1時(shí)沒有正解。

證：由常微分方程，該問題的齊次形式問題有通解

u(x)=c1cosh(x)+c2sinh(x)+c3cos(x)+c4sin(x)

將該問題的邊界條件依次代入通解，整理可得

由數(shù)值計(jì)算，該式的第一正根m1≈4.68952。所以原問題的齊次形式問題在0≤m

3非共軛性

定義1若一個(gè)n階線性微分方程

Ly≡y(n)+p1(x)y(n-1)+…+pn(x)y=0

(2)

pk∈C[a，b]for k=1，...，n.

的任意非零解在在區(qū)間[a，b]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)都少于n，那么該方程就被稱為非共軛的，多重零點(diǎn)按其重?cái)?shù)記。

定義 2設(shè)y1，…，yn∈Cn[a，b]，若下列朗斯基行列式

對(duì)任意的x∈[a，b]正定，就稱y1，…，yn構(gòu)成一個(gè)馬爾科夫系(Markov system)。

引理 1[1，Theorem 3 in Page 94]方程(2)在[a，b]上有一個(gè)馬爾科夫基本解系當(dāng)且僅當(dāng)它在[a，b]上是非共軛的。

已經(jīng)證明，若Ly≡y(n)+p1(x)y(n-1)+…+pn(x)y=0在[a，b]上非共軛，f∈C[a，b]，k∈Z+，那么兩點(diǎn)邊值問題

Ly=f(t)t∈(a，b)

y(i)(a)=0，i=1，…，k

y(j)(b)=0，j=1，…，n-k

(3)

有唯一解y，并且解可以表示為如下形式

(1)作為t的函數(shù)，G(t，s)在[a，s)，(s，b]上是(2)的解，并且滿足邊界條件(3)；

(2)作為t的函數(shù)，G(t，s)及其直到其n-2階微分都在t=s上連續(xù)，且Gn-1(s+0，s)-Gn-1(s-0，s)=1

引理2若(1)在[a，b]上非共軛，那么有

(-1)n-kG(t，s)>0，a

引理3[2，Theorem2.4；3] 若u=0在[a，b]上非共軛，并有邊界條件(3)使得是自伴的。設(shè)有：

(H0)p∈C0[a，b]，且在[a，b]上p≥0，在[a，b]的任意子區(qū)間上p≠0。

則對(duì)任意k≥1，v∈{+，-}，問題

y(i)(a)=0，i=1，…，k；

y(j)(b)=0，j=1，…，n-k

有唯一解(μk，ψk)∈+×Sk，v，且。并且：

(1)σ(，p)={μk：k≥1}

(2)若k′>k≥1，則μk′>μk>0；

(3)limk→∞μk=∞

由上述結(jié)論，非共軛的微分方程具有十分良好的性質(zhì)，接下來我們討論(1)是否是非共軛。

定義 3[1，Page99]

設(shè)方程(1)在[a，b]上不是非共軛的，η(a)={c：c>a且方程(1)在[a，c]非共軛}。我們稱η(a)為a的第一右共軛。

為y1(a，t)，…，yk(a，t)的朗斯基行列式。

定義 4 [1，Page99]

設(shè)s∈[a，b]，且W1(s，a)，…，Wn-1(s，a)中的一個(gè)為零。如果滿足條件的s存在，令ω(a)為其中最小的那個(gè)s。

引理 4 [1，Page99]η(a)=ω(a)

證明：由引理1，我們只需找到u(4)+u(2)-m4u=0的一個(gè)馬爾科夫基本解系。

設(shè)k∈{1，2，3，4}，uk分別是初值問題

u(4)+u(2)-m4u=0

u(j)(0)=0，j=2，4

u(4)+u(2)-m4u=0

u(j)(0)=0，j=2，4

u(4)+u(2)-m4u=0

u(j)(0)=0，j=1，3

u(4)+u(2)-m4u=0

u(j)(0)=0，j=1，3

的唯一解，則

令y1(x)=u1(x+σ)，y2(x)=-u2(x+σ)，y3(x)=-u3(x+σ)，y4(x)=u4(x+σ)

對(duì)應(yīng)的朗斯基行列式如下：

由Wk，k∈{1，2，3，4}在m∈[0，m1)，x∈[0，1]都不小于零可知，若0≤m

4結(jié)論

由定理1，定理2，問題(1)在0≤m

設(shè)0≤m

(1)問題u(4)+u(2)-m4u(t)=0，t∈(0，1)，u(0)=u′(0)=u(1)=u′(1)=0的格林函數(shù)G(t，s；m)滿足G(t，s；m)>0，0

(2)對(duì)任意k∈{1，2，3，4}，ν∈{+，-}，問題

u(4)+u(2)-m4u(t)=μp(t)u，t∈(0，1)，

u(i)(0)=0，i=1，…，k

u(j)(1)=0，j=1，…，4-k

有唯一解(μk，ψk)∈+×Sk，ν，且.。

參考文獻(xiàn)

[1]WACoppel，Disconjugacy.LectureNotesinMathematics，Vol220[M].Springer-Verlag，Berlin-NewYork，1971.

[2]BPRynne.Globalbifurcationfor2mth-orderboundaryvalueproblemsandinfinitelymanysolutionsofsuperlinearproblems[J].JDifferentialEquations，188(2003)，461-472.

[3]UElias.EigenvalueproblemsfortheequationsLy+λp(x)y=0[J].JournalofDifferentialEquations，1978，29(1)，28-57.

(責(zé)任編輯：龍學(xué)鋒)

The Existence of Solutions and Disconjugacy of a Fourth Order Ordinary Differential Equation

YU Zhong-yang

(Beijing Institute of Technology，Beijing 100081)

Abstract：In this paper，we mainly discuss the existence of solutions and disconjugacy of a fourth order ordinary differential equationu(4)+u(2)-m4u=0.

Keywords：fourth order ordinary differential equation；the existence of solutions；disconjugacy

收稿日期：2016-02-16

作者簡(jiǎn)介：于中洋(1991-)，男(漢族)，安徽界首人，北京理工大學(xué)研究生.E-mail：litst526@163.com

中圖分類號(hào)：O175.4

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1673-4793(2016)02-0066-04