單調(diào)測度空間上可測函數(shù)序列的收斂性定理

王玉環(huán)，胡小莉，李軍

(中國傳媒大學(xué)，北京 100024)

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單調(diào)測度空間上可測函數(shù)序列的收斂性定理

王玉環(huán)，胡小莉，李軍

(中國傳媒大學(xué)，北京 100024)

摘要：本文給出了單調(diào)測度空間上可測函數(shù)序列的幾個收斂性定理。經(jīng)典測度論中相應(yīng)的一些結(jié)果得到進(jìn)一步推廣。

關(guān)鍵詞：單調(diào)測度；幾乎處處收斂；依測度收斂

1引言

在經(jīng)典測度(即可加測度)理論中，Egoroff定理、Lebesgue定理和Riesz定理等幾個著名定理刻畫了可測函數(shù)序列的幾種收斂性之間的關(guān)系。在非可加測度理論中，由于失去了在經(jīng)典測度論中這些定理賴于生存的σ-可加性，因此可加測度理論中的許多重要結(jié)論在非可加測度情形中已失效。測度論中的許多重要定理對于僅有單調(diào)性的非負(fù)集函數(shù)不再成立。另一方面，測度的σ-可加性對于這些經(jīng)典定理僅僅是充分的而不是必要的。 因此，要使測度論中的許多重要定理在非可加測度理論中仍然成立，那么必須在集函數(shù)滿足單調(diào)性的基礎(chǔ)上附加較σ-可加性更弱的一些結(jié)構(gòu)。在文獻(xiàn)[1，2，3，6]中，關(guān)于可加測度的Egoroff定理、Lebesgue定理和Riesz定理被有效地推廣到了非可加測度空間上(更詳細(xì)的綜述見文獻(xiàn)[4])。

本文中我們進(jìn)一步討論單調(diào)測度空間上可測函數(shù)序列的收斂性。經(jīng)典測度論中與上述重要定理相關(guān)的一些結(jié)果([7])被推廣到了單調(diào)測度空間。 在單調(diào)測度空間中附加集函數(shù)的不同的連續(xù)性，可得到可測函數(shù)序列幾乎處處收斂或者幾乎一致收斂的充分必要條件。我們還將呈現(xiàn)一種強形式的Lebesgue定理。

2預(yù)備知識

(1)μ(φ)=0；

3單調(diào)測度空間上的Egoroff類型的定理

在文獻(xiàn)[1]中，呈現(xiàn)了單調(diào)測度空間上的Egoroff定理，我們陳述如下：

證明 由于

定理證畢。

從而存在指標(biāo)n1

則有

對于x∈E，選取k0，使得x∈Ek0，且有

有

以及

又由于

所以

因此，對于任意的k∈N，均有

也有

即有

定理證畢。

4單調(diào)測度空間上的Lebesgue類型的定理

下面的定理進(jìn)一步刻畫了單調(diào)測度空間上可測函數(shù)序列的幾乎處處收斂和依測度收斂的關(guān)系。

因為對于任意的n∈N，有

由于δ的任意性，可得

由μ是σ-弱零可加的，則

所以

這說明對于任給的ε>0，有

定理證畢。

5可測函數(shù)的幾乎一致收斂和幾乎一致有界

故

由于ε具有任意性，所以

由極限的定義可知：對任給的ε>0，存在j0∈N，使得

因為對于任意的m∈N，有

由于ε的任意性，可得

即

所以

定理證畢。

即

即

定理證畢。

下面的定理刻畫了單調(diào)測度空間上可測函數(shù)列的幾乎一致有界性。

證明 由題意知

即

又由于

則由

可得

最后我們給出單調(diào)測度空間上可測函數(shù)列幾乎處處收斂的一個充要條件。

命題得證.

且μ是下連續(xù)的，所以

因為對于x?E，所以對于每個n∈N，存在Kx，使得

定理證畢。

參考文獻(xiàn)

[1]LiJ.AfurtherinvestigationforEgoroff’stheoremwithrespecttomonotonesetfunctions[J].Kybernetika，2003，39：753-760.

[2]LiJ.Ordercontinuousofmonotonesetfunctionandconvergenceofmeasurablefunctionssequence[J].AppliedMathematicsandComputation，2003，135：211-218.

[3]LiJ，MesiarR.Lusin，theoremonmonotonemeasurespaces[J].FuzzySetsandSystems，2011，175：75-86.

[4]LiJMesiarR，PapE，KlementEP.Convergencetheoremsformonotonemeasures[J].FuzzySetsandSystems，2015，281：103-127.

[5]WangZ，KlirGJ.GeneralizedMeasureTheory[M].Springer，2009.

[6]LiJ，YasudaM.OnEgoroff’stheoremsonfinitemonotonenon-additivemeasurespaces[J].FuzzySetsandSystems，2005，153：71-78.

[7]周民強.實變函數(shù)論[M].北京：北京大學(xué)出版社，2008.

(責(zé)任編輯：馬玉鳳)

Convergence Theorems for Sequence of Measurable Functions on Monotone Measure Spaces

WANG Yu-huan，HU Xiao-li，LI Jun

(Communication University of China，Beijing 100024)

Abstract：In this paper，several kinds of convergence theorems for sequence of measurable functions on monotone measure spaces are shown.Some results in classical measure theory are further generalized.

Keywords：monotone measure；almost everywhere convergence；convergence in measure

收稿日期：2016-02-26

作者簡介：王玉環(huán)(1990-)，女(漢族)，山西臨汾人，中國傳媒大學(xué)碩士研究生.Email：wangyuhuan@cuc.edu.cn

中圖分類號：O159

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

文章編號：1673-4793(2016)02-0057-09