含參數(shù)不等式解法探微

呂雙平

〔關(guān)鍵詞〕 數(shù)學(xué)教學(xué)；不等式；解答；分類討論法；端

點(diǎn)比較法；構(gòu)造函數(shù)法

〔中圖分類號〕 G633.6 〔文獻(xiàn)標(biāo)識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2014）05—0092—01

解不等式是解決數(shù)學(xué)問題的主要工具，應(yīng)用于數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域，也是近年來高考試題中出題比較廣泛的內(nèi)容.例如，求函數(shù)的定義域和值域、求參數(shù)的取值范圍、 三角函數(shù)中角的變化范圍和解析幾何中曲線位置關(guān)系的討論等，都要用不等式來解決，所以解不等式是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本能力.而含參數(shù)不等式的解法是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，本文舉例說明含參數(shù)不等式的三種解法.

分類討論法

分類討論法是將含參數(shù)不等式的題進(jìn)行不同的分類，依照不同的類別進(jìn)行討論的方法.在日常數(shù)學(xué)問題中，當(dāng)參數(shù)在未知數(shù)最高次冪的系數(shù)上時(shí)，先對參數(shù)分類討論，在每一種情況下求出不等式的解集.

例1 解關(guān)于x的不等式ax2-2≥2x-ax，（a∈R）

解：原不等式變?yōu)閍x2+（a-2）x-2≥0

① 當(dāng)a=0時(shí)，不等式變?yōu)?2x-2≥0，解集為{x│x≤-1}；

② 當(dāng)a≠0時(shí)，將不等式變?yōu)椋╝x-2）（x+1）≥0.

若a>0，x1=-1，x2=■.設(shè)x1

由■-（-1）=■得，

若-2

若a=-2時(shí)，解集為{x∣x=-1}；

若a<-2時(shí)，■<-1，解集為{x∣x≤-1或x≥■}.

端點(diǎn)比較法

當(dāng)參數(shù)不在未知數(shù)的最高次冪系數(shù)上時(shí)，先分解因式，解出方程的根，再通過比較根的大小，討論參數(shù)范圍，求出不等式的解集.

例2 解關(guān)于x的不等式：■ <0（a∈R）

解：不等式變形為（x-a）（x-a2）<0，∴x1=a， x2=a2.

①a=a2時(shí)，a=0或a=1，不等式解集為？覬；

②當(dāng)a1，不等式解集為{x∣a

③當(dāng)a>a2時(shí)，0

綜上所述，當(dāng)a<0時(shí)，不等式解集為{x∣a1時(shí)不等式解集為{x∣a

構(gòu)造函數(shù)法

不等式的實(shí)質(zhì)是f（x）≥0或f（x）≤0的自變量的取值范圍，所以解不等式可以通過構(gòu)造函數(shù)來解.

例3 對于p∈[-2，2]的所有實(shí)數(shù)，解關(guān)于x的不等式：x2+px+1>p+2x.

解：原不等式變?yōu)椋▁-1）p+x2-2x+1>0，

設(shè)f（p）=（x-1）p+x2-2x+1，

當(dāng)p∈[-2，2]時(shí)，f（p）>0恒成立，

故有f （-2）>0f （2）>0，

即x2-4x+3>0x2-1>0

解得{x∣x<-1或x>3}.

例4 解關(guān)于x的不等式：■>a-2x，（a<0）

解：作函數(shù)y=■及y=a-2x的圖象如（右圖）

得 y=■y=a-2x，得x=-■a

由圖象可知，原不等式解集為{x∣x>■a}.

總之，對于某些不等式，必須借助于分類討論法、端點(diǎn)比較法和構(gòu)造函數(shù)法三種方法，方能快速解決不等式問題.用以上三種方法解答不等式，對提高解題效率能起到積極的促進(jìn)作用.

編輯：謝穎麗

〔關(guān)鍵詞〕 數(shù)學(xué)教學(xué)；不等式；解答；分類討論法；端

點(diǎn)比較法；構(gòu)造函數(shù)法

〔中圖分類號〕 G633.6 〔文獻(xiàn)標(biāo)識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2014）05—0092—01

解不等式是解決數(shù)學(xué)問題的主要工具，應(yīng)用于數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域，也是近年來高考試題中出題比較廣泛的內(nèi)容.例如，求函數(shù)的定義域和值域、求參數(shù)的取值范圍、 三角函數(shù)中角的變化范圍和解析幾何中曲線位置關(guān)系的討論等，都要用不等式來解決，所以解不等式是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本能力.而含參數(shù)不等式的解法是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，本文舉例說明含參數(shù)不等式的三種解法.

分類討論法

分類討論法是將含參數(shù)不等式的題進(jìn)行不同的分類，依照不同的類別進(jìn)行討論的方法.在日常數(shù)學(xué)問題中，當(dāng)參數(shù)在未知數(shù)最高次冪的系數(shù)上時(shí)，先對參數(shù)分類討論，在每一種情況下求出不等式的解集.

例1 解關(guān)于x的不等式ax2-2≥2x-ax，（a∈R）

解：原不等式變?yōu)閍x2+（a-2）x-2≥0

① 當(dāng)a=0時(shí)，不等式變?yōu)?2x-2≥0，解集為{x│x≤-1}；

② 當(dāng)a≠0時(shí)，將不等式變?yōu)椋╝x-2）（x+1）≥0.

若a>0，x1=-1，x2=■.設(shè)x1

由■-（-1）=■得，

若-2

若a=-2時(shí)，解集為{x∣x=-1}；

若a<-2時(shí)，■<-1，解集為{x∣x≤-1或x≥■}.

端點(diǎn)比較法

當(dāng)參數(shù)不在未知數(shù)的最高次冪系數(shù)上時(shí)，先分解因式，解出方程的根，再通過比較根的大小，討論參數(shù)范圍，求出不等式的解集.

例2 解關(guān)于x的不等式：■ <0（a∈R）

解：不等式變形為（x-a）（x-a2）<0，∴x1=a， x2=a2.

①a=a2時(shí)，a=0或a=1，不等式解集為？覬；

②當(dāng)a1，不等式解集為{x∣a

③當(dāng)a>a2時(shí)，0

綜上所述，當(dāng)a<0時(shí)，不等式解集為{x∣a1時(shí)不等式解集為{x∣a

構(gòu)造函數(shù)法

不等式的實(shí)質(zhì)是f（x）≥0或f（x）≤0的自變量的取值范圍，所以解不等式可以通過構(gòu)造函數(shù)來解.

例3 對于p∈[-2，2]的所有實(shí)數(shù)，解關(guān)于x的不等式：x2+px+1>p+2x.

解：原不等式變?yōu)椋▁-1）p+x2-2x+1>0，

設(shè)f（p）=（x-1）p+x2-2x+1，

當(dāng)p∈[-2，2]時(shí)，f（p）>0恒成立，

故有f （-2）>0f （2）>0，

即x2-4x+3>0x2-1>0

解得{x∣x<-1或x>3}.

例4 解關(guān)于x的不等式：■>a-2x，（a<0）

解：作函數(shù)y=■及y=a-2x的圖象如（右圖）

得 y=■y=a-2x，得x=-■a

由圖象可知，原不等式解集為{x∣x>■a}.

總之，對于某些不等式，必須借助于分類討論法、端點(diǎn)比較法和構(gòu)造函數(shù)法三種方法，方能快速解決不等式問題.用以上三種方法解答不等式，對提高解題效率能起到積極的促進(jìn)作用.

編輯：謝穎麗

〔關(guān)鍵詞〕 數(shù)學(xué)教學(xué)；不等式；解答；分類討論法；端

點(diǎn)比較法；構(gòu)造函數(shù)法

〔中圖分類號〕 G633.6 〔文獻(xiàn)標(biāo)識碼〕 C

〔文章編號〕 1004—0463（2014）05—0092—01

解不等式是解決數(shù)學(xué)問題的主要工具，應(yīng)用于數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域，也是近年來高考試題中出題比較廣泛的內(nèi)容.例如，求函數(shù)的定義域和值域、求參數(shù)的取值范圍、 三角函數(shù)中角的變化范圍和解析幾何中曲線位置關(guān)系的討論等，都要用不等式來解決，所以解不等式是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本能力.而含參數(shù)不等式的解法是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，本文舉例說明含參數(shù)不等式的三種解法.

分類討論法

分類討論法是將含參數(shù)不等式的題進(jìn)行不同的分類，依照不同的類別進(jìn)行討論的方法.在日常數(shù)學(xué)問題中，當(dāng)參數(shù)在未知數(shù)最高次冪的系數(shù)上時(shí)，先對參數(shù)分類討論，在每一種情況下求出不等式的解集.

例1 解關(guān)于x的不等式ax2-2≥2x-ax，（a∈R）

解：原不等式變?yōu)閍x2+（a-2）x-2≥0

① 當(dāng)a=0時(shí)，不等式變?yōu)?2x-2≥0，解集為{x│x≤-1}；

② 當(dāng)a≠0時(shí)，將不等式變?yōu)椋╝x-2）（x+1）≥0.

若a>0，x1=-1，x2=■.設(shè)x1

由■-（-1）=■得，

若-2

若a=-2時(shí)，解集為{x∣x=-1}；

若a<-2時(shí)，■<-1，解集為{x∣x≤-1或x≥■}.

端點(diǎn)比較法

當(dāng)參數(shù)不在未知數(shù)的最高次冪系數(shù)上時(shí)，先分解因式，解出方程的根，再通過比較根的大小，討論參數(shù)范圍，求出不等式的解集.

例2 解關(guān)于x的不等式：■ <0（a∈R）

解：不等式變形為（x-a）（x-a2）<0，∴x1=a， x2=a2.

①a=a2時(shí)，a=0或a=1，不等式解集為？覬；

②當(dāng)a1，不等式解集為{x∣a

③當(dāng)a>a2時(shí)，0

綜上所述，當(dāng)a<0時(shí)，不等式解集為{x∣a1時(shí)不等式解集為{x∣a

構(gòu)造函數(shù)法

不等式的實(shí)質(zhì)是f（x）≥0或f（x）≤0的自變量的取值范圍，所以解不等式可以通過構(gòu)造函數(shù)來解.

例3 對于p∈[-2，2]的所有實(shí)數(shù)，解關(guān)于x的不等式：x2+px+1>p+2x.

解：原不等式變?yōu)椋▁-1）p+x2-2x+1>0，

設(shè)f（p）=（x-1）p+x2-2x+1，

當(dāng)p∈[-2，2]時(shí)，f（p）>0恒成立，

故有f （-2）>0f （2）>0，

即x2-4x+3>0x2-1>0

解得{x∣x<-1或x>3}.

例4 解關(guān)于x的不等式：■>a-2x，（a<0）

解：作函數(shù)y=■及y=a-2x的圖象如（右圖）

得 y=■y=a-2x，得x=-■a

由圖象可知，原不等式解集為{x∣x>■a}.

總之，對于某些不等式，必須借助于分類討論法、端點(diǎn)比較法和構(gòu)造函數(shù)法三種方法，方能快速解決不等式問題.用以上三種方法解答不等式，對提高解題效率能起到積極的促進(jìn)作用.

編輯：謝穎麗