向量法的應(yīng)用舉隅

謝加英

【摘要】 向量是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的重要概念，具有代數(shù)和幾何形式的雙重身份，它有著極其豐富的實(shí)際背景，在解題中具有獨(dú)特的功能. 用向量法處理幾何、代數(shù)問(wèn)題更易操作，也很巧妙.本文從以下幾個(gè)方面例舉向量法在解決代數(shù)、幾何等問(wèn)題中的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】 向量法 數(shù)量積 三角函數(shù) 不等式

【中圖分類號(hào)】 G423 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 A 【文章編號(hào)】 1006-5962（2013）01（a）-0214-02

1 處理最大值問(wèn)題，盡顯向量法魅力

例1 設(shè)實(shí)數(shù)滿足條件，=5，則的最大值是（ ）

（A）3 （B） （C） （D）

分析 由想到向量數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式；由，=5想到向量的模。令，且=，由，可知選B.

例2（2008年廣東高考題·理科）若變量滿足則的最大值是（ ）

（A）90 （B）80 （C）70 （D）40

分析 作出可行域（讀者可自行作出），設(shè)為可行域內(nèi)任意一點(diǎn)，，則=，而為定值，根據(jù)數(shù)量積的幾何意義可知，z的最值依賴于向量在向量方向上的投影的最值，由圖可知為直線與的交點(diǎn)時(shí)，==2×20+3×10=70，故選C.

評(píng)注 例1實(shí)質(zhì)是柯西不等式的變形使用，后文將進(jìn)一步舉例說(shuō)明.例2把目標(biāo)函數(shù)變形，創(chuàng)造了線性規(guī)劃問(wèn)題與向量的有機(jī)聯(lián)系.如果進(jìn)一步研究，許多線性規(guī)劃問(wèn)題都可以用向量知識(shí)來(lái)處理.

2 化抽象為具體，巧妙處理空間幾何問(wèn)題

例3 在棱長(zhǎng)為1的正方體中，如圖2，交平面于.

（a）求證： 1°⊥；2°⊥平面；3°；4°平面∥平面.（b）求：1°平行平面與的距離；2°與的距離.

解析 建立空間直角坐標(biāo)系.

所以·=（-1）·（-1）+（-1）·1+1·0=0，

即 ⊥.

由對(duì)稱性 ⊥.

所以⊥平面.同理⊥平面，所以平面∥平面.

又，它在上的射影

即，所以.

同樣，線段與平面的交點(diǎn)滿足，所以平面與平面的距離.

，所以

.

，

所以與的距離為·=.

評(píng)注 通過(guò)引入空間向量，用向量的代數(shù)形式來(lái)處理立體幾何問(wèn)題，體現(xiàn)了“數(shù)”與“形”的有機(jī)結(jié)合，淡化了傳統(tǒng)幾何中“形”到“形”的推理方法，從而降低了思維難度，使解題變得程序化、簡(jiǎn)單化，這是用向量法解立體幾何問(wèn)題的獨(dú)到之處.

3 向量法在三角函數(shù)中的應(yīng)用

例4 求值：cos9°+cos81°+cos153°+cos225°+cos297°.

解析 觀察各角的變化，前后相差72°且剛好有五個(gè)角，而正五邊形的每個(gè)外角都是72°，故可作邊長(zhǎng)為1的正五邊形且與軸正方向的夾角為9°，則，，，，，

由

知.此時(shí)亦可得：.

評(píng)注 看似難以解決的三角函數(shù)求值問(wèn)題，應(yīng)發(fā)掘其它數(shù)學(xué)知識(shí)與向量的關(guān)系，形成用向量解題的思路.

例5 若，求的取值范圍.

解析 令向量，向量，則.

由，知，所以的取值范圍是.

評(píng)注 此法還可解決此類問(wèn)題的推廣：若，求的取值范圍.

4 巧用向量法，妙證不等式

例6 設(shè)為正數(shù)，求證.

證明 令向量，則= =，即.

同樣的思路，讀者不妨試著證明如下不等式：若，求證（例1中的二維向量推廣到三維向量）

例7 證明柯西—布雅尼柯夫斯基不等式

.

證明 令向量，則

==.

即.

通過(guò)證明柯西—布雅尼柯夫斯基不等式，讀者也不妨試著證明如下不等式：（1）設(shè)為不相等的正數(shù)，求證；（2）設(shè)為任意正數(shù)，求證.

評(píng)注 代數(shù)不等式的證明，一般較難下手，而且都要進(jìn)行繁雜的運(yùn)算. 但如果應(yīng)用向量代數(shù)的有關(guān)知識(shí)和運(yùn)算方法，不僅方法新穎，而且簡(jiǎn)捷明快.

參考文獻(xiàn)

[1] 單遵.數(shù)學(xué)競(jìng)賽研究教程（下）[M].南京：江蘇教育出版社，2009，2：121—122.

[2] 呂林根，許子道.解析幾何[M].北京：高等教育出版社，2006，5：1—62.

[3] 周金波，劉加元.巧用向量的數(shù)量積解非向量問(wèn)題[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2011（1）：47—48.