依托數(shù)列應(yīng)用，回歸函數(shù)本質(zhì)

摘要：數(shù)列的函數(shù)性是數(shù)列中一個本質(zhì)的基本屬性，作為函數(shù)知識體系的一個分支，數(shù)列自身有獨特的內(nèi)涵與實質(zhì).結(jié)合一道高考數(shù)列題的展示，借助不同的思維方法進行分析與應(yīng)用，巧妙利用數(shù)列的基本公式及數(shù)列的函數(shù)性等相關(guān)思維來切入與應(yīng)用，合理優(yōu)化解題過程與變式拓展，有效指導(dǎo)復(fù)習(xí)備考.

關(guān)鍵詞：高考；數(shù)列；公式；函數(shù)；變式

數(shù)列是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》選擇性必修課程中函數(shù)主線的重要內(nèi)容之一，也是歷年高考數(shù)學(xué)試卷中的主干知識之一.作為數(shù)學(xué)的整體性代表的數(shù)列與函數(shù)，兩者之間存在一定的共性與差異，特別是在解決一些相關(guān)的數(shù)列問題時，除了直接利用數(shù)列的基本概念、基本公式與基本性質(zhì)，還可以回歸并根據(jù)數(shù)列的函數(shù)性，合理構(gòu)建數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式等之間的聯(lián)系，這樣可以簡單快捷地處理問題，直達問題的“心臟”，收獲良好的解題效益.本文中結(jié)合2024年高考數(shù)學(xué)全國甲卷理科第4題加以分析.

1 真題呈現(xiàn)

高考真題（2024年高考數(shù)學(xué)全國甲卷理·4）等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S5=S10，a5=1，則a1=（）.

A.－2

B.73

C.1

D.2

本題依托等差數(shù)列的問題場景，結(jié)合相關(guān)數(shù)據(jù)信息的給出，合理創(chuàng)設(shè)，進而求解等差數(shù)列的首項.在解決此類問題時，常常結(jié)合等差數(shù)列的基本性質(zhì)、通項公式等加以合理轉(zhuǎn)化，

在實際熟練理解并掌握等差數(shù)列的基本概念、通項公式與求和公式、基本性質(zhì)等基礎(chǔ)上，合理開拓數(shù)學(xué)思維，借助等差數(shù)列的基本量、公式、基本性質(zhì)及相關(guān)的數(shù)學(xué)思維，從基本量應(yīng)用思維、公式轉(zhuǎn)化思維、性質(zhì)應(yīng)用思維及排除思維等方面展開，為數(shù)列的進一步綜合應(yīng)用創(chuàng)造條件.

2 真題破解

2.1 基本量應(yīng)用思維

方法1：基本量計算法.

由S5=S10，可得5a1+10d=10a1+45d，整理有a1+7d=0.

由a5=1，可得a1+4d=1.結(jié)合a1+7d=0，解得a1=73，d=－13.

故選擇答案：B.

點評：根據(jù)等差數(shù)列的通項公式、求和公式等構(gòu)建基本量的關(guān)系式，聯(lián)立方程求解對應(yīng)的基本量，是解決數(shù)列問題最簡單的一種方法，也是基本技巧方法之一.數(shù)列解題中，基本量計算法的前提就是熟練理解并掌握相關(guān)的公式，合理加以構(gòu)建，通過方程（組）的求解來達到目的.

[HJ1.85mm

2.2 公式轉(zhuǎn)化思維

方法2：公式法1.

由S5=S10，可得S10－S5=a6+a7+a8+a9+a10=5a8=0，則a8=0.

結(jié)合a5=1，可得公差d=a8－a58－5=－13，所以a1=a5－4d=1－4×－13=73.

故選擇答案：B.

方法3：公式法2.

由S5=S10，可得S10－S5=a6+a7+a8+a9+a10=5a8=0，則a8=0.

結(jié)合a5=1，則有a8－a58－5=a5－a15－1，即0－18－5=1－a15－1，解得a1=73.故選擇答案：B.

點評：根據(jù)等差數(shù)列的通項公式、求和公式及基本性質(zhì)等的應(yīng)用，通過公式的變形與轉(zhuǎn)化來分析與求解，是處理此類等差數(shù)列問題的常見解題技巧與方法.熟練理解并掌握相關(guān)公式及其變式，例如公差d=an－amn－m，給方程的構(gòu)建與問題的求解創(chuàng)造更多的機會與條件，處理起來更加簡捷直接.當(dāng)然，應(yīng)用不同的公式，其對應(yīng)的過程不完全相同，但殊途同歸，都給問題的分析與求解打下基礎(chǔ).

2.3 性質(zhì)應(yīng)用思維

方法4：性質(zhì)法1.

由S5=S10，可得S55=2·S1010.又易得S99=a5=1.

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知，數(shù)列[JB（{Snn[JB）}也是等差數(shù)列.利用等差中項的性質(zhì)，可得2·S55=S11+S99，即S55=S1+12，所以S1010=12·S55=S1+14.

而S99－S55=4S1010－S99，即1－S1+12=4S1+14－1，解得S1=73，即a1=73.

故選擇答案：B.

點評：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)——數(shù)列[JB（{Snn[JB）}也是等差數(shù)列，進而依托題設(shè)條件，結(jié)合等差數(shù)列的基本性質(zhì)，并通過等差中項的性質(zhì)及等差數(shù)列的通項公式等加以轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，實現(xiàn)問題的突破與求解.

方法5：性質(zhì)法2.

由S5=S10，可得a1+a15=0，即a1+a1+14d=0，亦即a1+7d=0.

由a5=1，可得a1+4d=1.結(jié)合a1+7d=0，解得a1=73，d=－13.

點評：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)——若Sm=Sn，則有a1+am+n=0，依托題設(shè)條件，聯(lián)系到等差數(shù)列的這個基本性質(zhì)，直接轉(zhuǎn)化為數(shù)列相關(guān)項的關(guān)系，給問題的突破與切入創(chuàng)造條件.

2.4 排除思維

方法6：排除法.

由S5=S10，可得S10－S5=a6+a7+a8+a9+a10=5a8=0，解得a8=0.

而結(jié)合a5=1gt;a8，則數(shù)列{an}前8項遞減，公差dlt;0，由此排除選項A，C.

顯然1－a1=a5－a1=4dlt;3d=a8－a5=0－1，則a1gt;2，由此排除選項D.

故選擇答案：B.

點評：根據(jù)等差數(shù)列中相關(guān)項的對稱性與單調(diào)性，回歸數(shù)列的函數(shù)本質(zhì)，借助函數(shù)的基本性質(zhì)，并通過合理的排除法思維來分析與求解，是解決此類問題的一大特色與亮點.

3 變式拓展

3.1 同類變式

變式1等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S5=S10，a5=1，則公差d=（）.

A.－13

B.73

C.13

D.－73

該變式中，求解等差數(shù)列的公差d的值，只是原高考真題的一個過程量，具體求解過程可參考以上高考真題中的相關(guān)解析，這里就不展開與應(yīng)用.

3.2 深入變式

變式2Sn是公差為2的等差數(shù)列{an}的前n項和，若數(shù)列{Sn+1}也是等差數(shù)列，則a1=.

解析：依題，等差數(shù)列{an}的公差為2，可得其前n項和Sn=na1+n（n－1）2×2=na1+n（n－1），則Sn+1=na1+n2－n+1.

由數(shù)列{Sn+1}也是等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的函數(shù)性，可知n2+（a1－1）n+1是個完全平方式，則判別式Δ=（a1－1）2－4=0，解得a1=－1或3.

故填答案：－1或3.

該變式問題的求解過程中，根據(jù)等差數(shù)列的函數(shù)性——一次函數(shù)型，直接利用等差數(shù)列的通項公式符合一次型函數(shù)的特點，對相關(guān)數(shù)列的通項中被開方數(shù)滿足的條件加以界定，利用完全平方式的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合判別式為0來建立方程，進而以求解數(shù)列的首項.

4 教學(xué)啟示

回歸數(shù)列的函數(shù)本質(zhì)與基本屬性，在數(shù)列問題的分析與求解過程中經(jīng)常有所涉及.特別是，以上問題所對應(yīng)的相關(guān)等差數(shù)列中，要合理加強對其通項公式及前n項和公式等這些特殊的函數(shù)關(guān)系的概念理解與分析，合理構(gòu)建等差數(shù)列的通項公式為一次函數(shù)型y=dn+b（公差不為0時），前n項和公式為二次函數(shù)型y=an2+bx（公差不為0時，a≠0）.同樣，等比數(shù)列中也有類似的函數(shù)性質(zhì).這些數(shù)列的函數(shù)性都為我們解決相關(guān)的數(shù)列問題提供了非常有益的啟示.

數(shù)列作為離散函數(shù)的典型代表之一，抓住數(shù)列的函數(shù)性，挖掘出相關(guān)特殊數(shù)列（等差數(shù)列與等比數(shù)列）的通項公式、求和公式等與函數(shù)的基本性質(zhì)之間的內(nèi)在聯(lián)系，用函數(shù)的觀點、函數(shù)的知識及函數(shù)的方法等來巧妙揭開數(shù)列神秘的“面紗”，使得不同知識之間的聯(lián)系更加多樣變化，數(shù)學(xué)知識更加系統(tǒng)化，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)整體意識，以及用聯(lián)系和發(fā)展的眼光學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)等.