“本手”筑基，“妙手”生花

摘要：從圍棋術語的“本手、妙手、俗手”展開并切入，合理應用到數(shù)學教學與解題研究過程中去，結合一道模擬題的實例解析，闡述數(shù)學解題“本手”與“妙手”的基本策略技巧，從數(shù)學本質、數(shù)學思維等不同層面進行拓展與深化，指導解題研究與復習備考.

關鍵詞：本手；妙手；最小值；基本不等式

2022年全國高考語文新高考I卷的作文題圍繞“本手、妙手、俗手”這三個圍棋術語來切入與展開，極具創(chuàng)新性與應用性.其中，本手是指合乎棋理的正規(guī)下法；妙手是指出人意料的精妙下法；俗手是指貌似合理，而從全局看通常會受損的下法[1.

在數(shù)學教學與解題研究過程中，“本手、妙手、俗手”這三個圍棋術語也有其很深的數(shù)學內(nèi)涵與創(chuàng)新應用.數(shù)學學科中，特別關注“本手”，“本手”就是筑基，倡導筑牢數(shù)學基礎知識，構建數(shù)學知識網(wǎng)絡體系，綜合應用數(shù)學基礎知識與思想方法等；建議優(yōu)化“妙手”，“妙手”就是生花，推進優(yōu)化數(shù)學解題過程，提升數(shù)學思維與解題效益，探究拓展問題的巧技妙法等.

1 問題呈現(xiàn)

問題（江西省五市九校協(xié)作體2023屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學試卷·16）已知a，b，c是正實數(shù)，且b+c=6，則ac2+2abc+8a+1的最小值為.

2 問題剖析

此題以三個正實數(shù)中的兩個變元定和為背景來創(chuàng)設，合理構建三個變元所對應的代數(shù)式的最值，問題的突破技巧就是利用題設中“兩個變元定和”，并結合代數(shù)式的結構特征加以合理的消元處理，綜合不等式的基本性質及其應用，實現(xiàn)代數(shù)式的最值的求解.

問題的實質并不復雜，其實就是兩個基本不等式拼湊復合而成的，其中一個不等式是“c2+2bc≥2”，另一個不等式是“2a+8a+1≥6”，通過這兩個不等式的確定與判斷來達到目的.破解問題的關鍵在于利用條件“b+c=6”確定“c2+2bc≥2”這一不等式，也是創(chuàng)新與應用的重要一環(huán).

我們嘗試從“本手”與“妙手”這兩個不同的層面、視角等來分析與處理該問題，抓住數(shù)學問題的關鍵，合理闡述問題的內(nèi)涵與實質、數(shù)學解題的本質與應用，以及解題技巧與應試策略等.

3 “本手”筑基

對于數(shù)學教學與解題研究，“本手”是基礎，筑牢基礎，理解并掌握對應數(shù)學解題的“通技通法”是根本.要好好從“本手”切入，落實“本手”，掌握數(shù)學的基礎知識與基本思想方法等.

解法1：兩次基本不等式法1.

根據(jù)題意，得ac2+2abc+8a+1=acb+2abc+8a+1=acb+2bc+8a+1.

結合b+c=6，利用基本不等式，可得cb+2bc=cb+2b+c62bc=cb+（b+c）23bc=4c3b+b3c+23≥24c3b×b3c+23=2×23+23=2，當且僅當4c3b=b3c，即b=2[KF（6[KF）3，c=[KF（6[KF）3時，等號成立.

再次利用基本不等式，可以得到acb+2bc+8a+1≥2a+8a+1=2（a+1）+8a+1－2≥22（a+1）×8a+1－2=2×4－2=6，當且僅當2（a+1）=8a+1，即a=1時，等號成立.

所以ac2+2abc+8a+1的最小值為6，此時a=1，b=263，c=[KF（6[KF）3.

故填答案：6.

解后反思：根據(jù)題設中“兩個變元定和”，通過代數(shù)式的恒等變形與轉化，先利用基本不等式進行合理消元處理，再進一步結合代數(shù)式的配湊并第二次利用基本不等式來放縮，最終確定對應代數(shù)式的最值.這里最關鍵的是“常值代換”處理，也是解決此類問題中最常用的“通技通法”.

4 “妙手”生花

對于數(shù)學教學與解題研究，“妙手”是創(chuàng)新，發(fā)散思維，落實并提升對應數(shù)學解題的“巧技妙法”是應用.要合理從“妙手”著力，推進“妙手”，優(yōu)化與提升解題能力，培養(yǎng)創(chuàng)新思維等.

以上問題中，破解的關鍵就是結合題設條件，通過所求代數(shù)式的恒等變形與轉化進行合理的消元處理.而其中消元是問題破解的關鍵，也是數(shù)學思維方法的著力點，可以從不同思維方式來切入與應用.

解法2：兩次基本不等式法2.

結合b+c=6，可得2=13×（6）2=13（b+c）2.

利用基本不等式，可得ac2+2abc=a（c2+2）bc=a[JB（［c2+13（b+c）2[JB）］bc=a3bc（4c2+b2+2bc）≥a（4bc+2bc）3bc=2a，當且僅當4c2=b2，即b=2c，亦即b=2[KF（6[KF）3，c=[KF（6[KF）3時，等號成立.

再次利用基本不等式，可得ac2+2abc+8a+1≥2a+8a+1=2（a+1）+8a+1－2≥22（a+1）×8a+1－2=2×4－2=6，當且僅當2（a+1）=8a+1，即a=1時，等號成立.

所以ac2+2abc+8a+1的最小值為6，此時a=1，b=263，c=[KF（6[KF）3.

故填答案：6.

解后反思：利用基本不等式中的“常值代換”處理時，不同的配湊法對應不同的不等式應用，只要保證利用基本不等式時所對應的等號成立，均可以達到放縮與求解的目的.不同的視角與思維的切入，可以利用不同的不等式來合理放縮與應用，關鍵就是思維的發(fā)散性，以及數(shù)學基礎知識的理解與掌握等.

解法3：兩次基本不等式法3.

結合b+c=6，可得b=6－c.

利用基本不等式，可得3c2+2≥26c，當且僅當3c2=2，即c=63時，等號成立.

所以c2+2≥26c－2c2=2c（6－c）=2bc，于是可得

ac2+2abc=a（c2+2）bc≥2a，以下過程同解法2.

所以ac2+2abc+8a+1的最小值為6，此時a=1，b=263，c=[KF（6[KF）3.

故填答案：6.

解后反思：根據(jù)題設中“兩個變元定和”，合理轉化，結合基本不等式的應用以及代數(shù)式的恒等變形，同樣達到消元的目的，也為進一步的放縮處理提供條件.合理的配湊并借助基本不等式的應用，是解決問題的關鍵所在，同時代數(shù)式取得最值時等號成立的條件不能忽視.

解法4：判別式+基本不等式法.

結合b+c=6，可得b=6－cgt;0.

令c2+2bc=c2+2（6－c）c=tgt;0，整理可得

（1+t）c2－6tc+2=0.

由于cgt;0，則以上關于c的二次方程必有正實數(shù)根，因此

判別式Δ=（－6t）2－8（1+t）=6t2－8t－8≥0，解得t≥2或t≤－23（舍去）.

所以ac2+2abc=a（c2+2）bc≥2a，以下過程同解法2.

所以ac2+2abc+8a+1的最小值為6，此時a=1，b=263，c=[KF（6[KF）3.

故填答案：6.

解后反思：根據(jù)題設中“兩個變元定和”，合理進行整體換元處理，結合參數(shù)的引入以及二次方程的構建，利用對應的二次方程有實根構建相應的不等式，借助不等式的求解來達到消元的目的.條條道路通羅馬，其主要目的就是合理消元，為進一步利用基本不等式確定最值奠定基礎.

其實，在確定c2+2bc≥2時，除以上相關的“巧技妙法”外，也可以通過函數(shù)的構建并利用導數(shù)法進行處理，還可以通過等差中項的引入并利用判別式法進行處理等，都可以達到解決問題的目的，這里不再加以展開與應用.

5 教學啟示

在新教材（人民教育出版社2019年國家教材委員會專家委員會審核通過）、新課程（《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂》）、新高考的“三新”背景下，高考試題更加注重思維品質、關鍵能力以及核心素養(yǎng)等方面的考查，更加關注數(shù)學中的創(chuàng)新意識與創(chuàng)新應用，數(shù)學的魅力不僅僅在于不斷的“變化”，有“變”才能“活”，有“活”才能創(chuàng)新，凸顯教師與學生對新高考考試方向與命題思路的適應程度，反映教考銜接環(huán)節(jié)之間的匹配度[2.

數(shù)學教學不僅要解決數(shù)學問題，還要注重數(shù)學問題的探究、變式與拓展等，引導學生積極探索“一題多解”“一題多變”“一題多用”等，真正合理下穩(wěn)“本手”，科學實施“妙手”.這樣既能鞏固數(shù)學基礎知識，開拓數(shù)學解題思路，又提高了發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題等方面的能力，同時達到了舉一反三、觸類旁通的目的.

參考文獻：

[1]孔令磊.以2022年高考Ⅰ卷第21題的探究為例談數(shù)學解題的本手、妙手與俗手[J.數(shù)學通訊，2022（15）：5457.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）[S.北京：人民教育出版社，2017.