立足三角函數(shù)本質(zhì)，交匯函數(shù)方程內(nèi)涵

摘要：三角函數(shù)問題是基于函數(shù)與方程問題的拓展與應(yīng)用，二者之間的交匯與融合更是高考中比較常見的基本題型之一.本文中結(jié)合一道涉及兩個(gè)三角函數(shù)的圖象在給定區(qū)間上公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，進(jìn)而來確定對(duì)應(yīng)參數(shù)的取值范圍題，從不同思維視角切入，通過不同技巧、方法來解決，合理拓展變式，歸納總結(jié)規(guī)律，有效避免“題海戰(zhàn)術(shù)”，真正做到開拓?cái)?shù)學(xué)思維，培養(yǎng)數(shù)學(xué)素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：三角函數(shù)；圖象；函數(shù)與方程；解析幾何；特殊值

三角函數(shù)模塊知識(shí)，是高中數(shù)學(xué)教材中的一大主干知識(shí).有關(guān)三角函數(shù)的基本知識(shí)以及與其他知識(shí)的融合，是歷年高考中的重點(diǎn)考查之一.回歸三角函數(shù)中的函數(shù)本質(zhì)，合理交匯與融合函數(shù)與方程之間的關(guān)系，或依托三角函數(shù)圖象直觀等，都是高考數(shù)學(xué)的一些基本考查熱點(diǎn)與難點(diǎn)，備受各方關(guān)注.

1 問題呈現(xiàn)

問題（2025屆福建省百校聯(lián)考高三上學(xué)期10月聯(lián)合測評(píng)數(shù)學(xué)試卷·8）已知ωgt;0，函數(shù)f（x）=sin ωx與g（x）=cos ωx的圖象在上最多有兩個(gè)公共點(diǎn)，則ω的取值范圍為（）.

A.0，178∪94，218

B.0，54∪94，178

C.0，14∪54，178

D.0，178∪94，52

本題以三角函數(shù)為背景，通過三角函數(shù)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)來設(shè)置問題，突破口是三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，同時(shí)考查數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想.

本題以正弦函數(shù)、余弦函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題設(shè)問，實(shí)際上可以轉(zhuǎn)化為正弦型函數(shù)的零點(diǎn)問題，合理通過函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化來實(shí)現(xiàn)問題的突破；也可以利用特殊化的思想選出答案，所謂“小題小做”.當(dāng)然，轉(zhuǎn)化為正切函數(shù)問題，更加簡潔；轉(zhuǎn)化為直線與直線系交點(diǎn)問題，也會(huì)讓人“眼前一亮”.這些都是破解問題的一些基本思維與精彩解法.

2 問題破解

2.1 函數(shù)與方程思維

解法1：合一變形法1.

設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）－g（x），則h（x）=sin ωx－cos ωx=2sinωx－π4.

根據(jù)題設(shè)條件，可知函數(shù)h（x）在上最多有兩個(gè)零點(diǎn)，則2π－πl(wèi)t;32·2πω.

結(jié)合ωgt;0，解得0lt;ωlt;3.

由x∈，可得

ωx－π4∈[JB（πω－π4，2πω－π4.

又0lt;ωlt;3，則-π4[SX）lt;πω-π4lt;11π4，-π4lt;2πω-π4lt;23π4.

（1）由-π4lt;πω－π4≤0，2πω－π4lt;2π，可得0lt;ω≤14；

（2）由0lt;πω－π4≤π，2πω－π4lt;3π，可得14lt;ω≤54；

（3）由πl(wèi)t;πω－π4≤2π，2πω－π4lt;4π，可得54lt;ωlt;178；

（4）由2πl(wèi)t;πω－π4lt;11π4，2πω－π4lt;5π，可得94lt;ωlt;218.

綜上分析，可得ω∈0，178∪94，218.

故選答案：A.

2.2 解析幾何思維

解法2：正切函數(shù)圖象法.

由f（x）=g（x），可得sin ωx=cos ωx，即tan ωx=1.

由x∈，可得t=ωx∈[ωπ，2ωπ，tan t=1.

結(jié)合正切函數(shù)y=tan t的圖象與性質(zhì)，可得kπ－3π4lt;ωπ，2ωπl(wèi)t;9π4+kπ，k∈Z，即k－34lt;ω，ωlt;98+k2，k∈Z，亦即k－34lt;98+k2，0lt;98+k2，k∈Z.

解得－94lt;klt;154，k∈Z.

故k=－2，－1，0，1，2，3.

當(dāng)k=－2時(shí)，有－114lt;ω，ωlt;18，解得0lt;ωlt;18；

當(dāng)k=－1時(shí)，有－74lt;ω，ωlt;58，解得0lt;ωlt;58；

當(dāng)k=0時(shí)，有－34lt;ω，ωlt;98，解得0lt;ωlt;98；

當(dāng)k=1時(shí)，有14lt;ω，ωlt;138，解得14lt;ωlt;138；

當(dāng)k=2時(shí)，有54lt;ω，ωlt;178，解得54lt;ωlt;178；

當(dāng)k=3時(shí)，有94lt;ω，ωlt;218，解得94lt;ωlt;218.

綜上分析，可得ω∈0，178∪94，218.

2.3 特殊思維

解法3：特殊值驗(yàn)證法.

當(dāng)ω=1時(shí)，函數(shù)f（x）=sin x，g（x）=cos x.由f（x）=g（x），即sin x=cos x，可得tan x=1.又由x∈，可得x=5π4，此時(shí)函數(shù)f（x）=sin ωx與g（x）=cos ωx的圖象在上有一個(gè)公共點(diǎn)，滿足題意，由此可以排除選項(xiàng)C.

當(dāng)ω=2時(shí)，同理可得tan 2x=1，再結(jié)合x∈，可得x=9π8，13π8，滿足題意，由此排除選項(xiàng)B.

當(dāng)ω=178時(shí)，同理可得tan178x=1，再結(jié)合x∈，可得x=18π17，26π17，2π，這與題設(shè)條件矛盾，由此可以排除選項(xiàng)D.

故選答案：A.

3 變式拓展

變式1〔2024屆廣東省六校（東莞中學(xué)、廣州二中、惠州一中、深圳試驗(yàn)學(xué)校、珠海一中、中山紀(jì)念中學(xué)）高三下學(xué)期第四次六校聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷〕函數(shù)f（x）=sin 3x－sin 2x在開區(qū)間（－π，2π）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）.

A.5

B.6

C.7

D.8

（參考答案為：D.）

變式2（2024年河南省開封市高考數(shù)學(xué)模擬試卷）將函數(shù)f（x）=cos 2x的圖象向右平移π6個(gè)單位長度后，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的1ω（ωgt;1），縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g（x）的圖象，若函數(shù)g（x）在區(qū)間［0，π）內(nèi)有5個(gè)零點(diǎn)，則ω的取值范圍是（）.

A.2312≤ωlt;2912[DW2

B.2312lt;ω≤2912

C.2912≤ωlt;3512[DW2

D.2912lt;ω≤3512

（參考答案為：D.）

4 教學(xué)啟示

4.1 考查重點(diǎn)歸納

從近幾年的高考和模擬試題可看出，三角函數(shù)的綜合性問題經(jīng)常出現(xiàn)，特別是各式各樣的三角函數(shù)零點(diǎn)問題層出不窮，以及三角函數(shù)與函數(shù)方程之間的交匯融合問題，通常是高考考查的一個(gè)重點(diǎn)與熱點(diǎn)，以此為背景的試題多次出現(xiàn)，需要引起教師的重視，有必要對(duì)此類問題進(jìn)行專題突破.

4.2 復(fù)習(xí)備考剖析

在三角函數(shù)模塊知識(shí)的課堂學(xué)習(xí)與復(fù)習(xí)備考過程中，一定要不忘初心，方得始終.解決三角函數(shù)問題時(shí)萬變不離其宗，要好好吃透教材中重點(diǎn)的例（習(xí)）題.基于此，借助一些典型問題加以探究與拓展，充分有效挖掘典型問題的內(nèi)涵與底蘊(yùn)，融會(huì)貫通，進(jìn)而有效避免“題海戰(zhàn)術(shù)”，真正做到開拓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，拓展學(xué)生的思維寬度，提升數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，養(yǎng)成學(xué)生優(yōu)良的數(shù)學(xué)品質(zhì).