高觀點(diǎn)下幾何證題中的動(dòng)態(tài)方法及投影方法

徐境鴻

【摘? 要】? 利用動(dòng)態(tài)以及投影的方法處理一類幾何問題，是解初等幾何題的一種重要的思想方法.本文就一道經(jīng)典的關(guān)于三棱錐的數(shù)學(xué)競賽題，通過動(dòng)點(diǎn)軌跡的變化和頂點(diǎn)的不同投影等變式，利用以上兩種方法展開變式探究，簡單探討如何解決高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)問題.

【關(guān)鍵詞】? 高中數(shù)學(xué)；動(dòng)態(tài)方法；投影方法

實(shí)踐證明，利用動(dòng)態(tài)以及投影的方法處理一類幾何問題，將收到事半功倍之效，它不失為解初等幾何題的一種重要的思想方法.在數(shù)學(xué)競賽及中高考試題中，我們經(jīng)常會(huì)遇到此類問題.

1? 動(dòng)態(tài)以及投影方法概述

眾所周知，幾何學(xué)是研究幾何體的性質(zhì)——形狀、大小和相互位置關(guān)系的一門學(xué)科.早期的人們只研究靜止的圖形，隨著研究的深入，才逐步引入了動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)，把圖形之間的位置關(guān)系看作是處在變化的、相互依存的狀態(tài)之中.這里所說的“動(dòng)”，是指歐式運(yùn)動(dòng)，即平移、旋轉(zhuǎn)和反射三種基本運(yùn)動(dòng)所形成的運(yùn)動(dòng)群.在高等幾何里，仿射變換、射影變換已有廣泛應(yīng)用，但這些“高觀點(diǎn)”在中學(xué)幾何上是否用得上呢？結(jié)論是肯定的.比如在中學(xué)集合中，有證明笛莎格定理等著名定理的.

所謂投影，一般有以下幾種：

（1）從一點(diǎn)向平面所作垂線的垂足，就稱這點(diǎn)在平面上的正投影，簡稱投影.

（2）一條直線在一個(gè)平面內(nèi)的投影，就是這條直線上所有的點(diǎn)在這平面內(nèi)投影的集合.因此，只需將直線上的兩個(gè)點(diǎn)向平面作投影，則平面上連接這兩點(diǎn)的投影的直線，叫做已知直線在平面上的投影.

（3）所謂面積投影定理，是指設(shè)一封閉圖形面積為S，其在投影面M內(nèi)的投影面積，封閉圖形所在平面和投影面M所成之角為，則.

投影方法是實(shí)現(xiàn)把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的一種重要途徑.把空間一點(diǎn)向平面投影，投影點(diǎn)落在什么位置，有時(shí)往往成為解決問題的關(guān)鍵.

下面我們就以一道經(jīng)典的上海市中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽題進(jìn)行簡單的變式探究.

2? 試題呈現(xiàn)

例題? 如圖1，棱錐V-ABC的側(cè)棱對于底面的傾斜角都相等，底面為直角三角形，它的兩直角邊CA，CB分別為，又棱錐的高為b，M、N、P、Q分別為AC、CB和VB、VA上的中點(diǎn)，求四邊形MNPQ的面積.

解? 首先找出V點(diǎn)在底面上的投影點(diǎn).

因?yàn)橐阎忮F的側(cè)棱與底面的傾斜角都相等，所以側(cè)棱的投影都相等，于是棱錐頂點(diǎn)V在底面的投影點(diǎn)是的外心.

又因?yàn)橐阎獮橹苯侨切?，因此垂足D必在斜邊上，且是斜邊的中點(diǎn)，如圖2.

容易證明：VA、AC、BC、BV的中點(diǎn)Q、M、N、P構(gòu)成平行四邊形.

其次，找出平行四邊形MNPQ中，Q點(diǎn)在MN上的投影點(diǎn)，以便確定平行四邊形的高.為此在面VAB上，作Q點(diǎn)在AB上的投影點(diǎn)E，

由于VQ=QA，

AE=ED.

如圖3，在中，，又D是斜邊中點(diǎn)，因此為正三角形，

在中，設(shè)

，

因此QF即為平行四邊形之高.這樣，設(shè)平行四邊形的面積為S，則

，

.

3? 變式探究

3.1? 動(dòng)態(tài)方法：當(dāng)a，b滿足一定的條件時(shí)，求S的最值

（1）當(dāng)在單位圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，求S的最值.

解? .

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等式成立.但我們發(fā)現(xiàn)它們不可能相等，所以無最值.

（2）當(dāng)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，求S的最值.

解? .

當(dāng)且僅當(dāng)，等式成立.

.

3.2? 投影方法：當(dāng)V點(diǎn)在底面的射影分別是三角形的垂心和內(nèi)心時(shí)

3.2.1? 當(dāng)V點(diǎn)在底面的射影是三角形的垂心時(shí)

解? 如圖4所示，由三角形垂心的性質(zhì)可知，點(diǎn)V在底面的投影正好是點(diǎn)C，

，

.

，

，

.

3.2.2? 當(dāng)V點(diǎn)在底面的射影是三角形的內(nèi)心時(shí)

方法1? 投影法

分析? 如圖5所示，V點(diǎn)在底面的射影即三角形ABC的內(nèi)切圓的圓心，設(shè)為O.連接OA，OB，分別取它們的中點(diǎn)，再把連起來，則平面即為平面QPNM的射影面.設(shè)兩平面所成的角為，利用射影的知識(shí)不難知道.由求，由求，在直角三角形中可求得到，關(guān)鍵就是求出.，所以.

詳細(xì)解答過程略.

方法2? 向量法

分析? 以點(diǎn)C為原點(diǎn)，CB所在直線為x軸，CA所在直線為y軸，與OV平行的直線為Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，可求得內(nèi)切圓半徑即OD的長為，因此易得各點(diǎn)坐標(biāo).通過公式，可求得的正弦值，所以.

詳細(xì)解答過程略.

3.3? 其他變式：當(dāng)是邊長為a的正三角形時(shí)

分析? 因?yàn)椤叭摹焙弦?，所以不管V點(diǎn)在底面的射影是外心，垂心，還是內(nèi)心，方法都是一樣的.

如圖6所示，可求得，

從而得到.

易證得四邊形PQMN是矩形，

所以.

在解決三棱錐問題時(shí)常常要解決三棱錐的高，只要抓住了垂足在底面上的位置，問題就容易解決.因此，掌握在各種條件下三棱錐頂點(diǎn)在底面上射影位置，是解決三棱錐問題的關(guān)鍵.

4? 教學(xué)建議

（1）動(dòng)態(tài)方法可以幫助學(xué)生更好地理解幾何問題的性質(zhì)和關(guān)系，通過觀察動(dòng)態(tài)場景中的變化，可以培養(yǎng)學(xué)生的幾何直覺和推理能力.射影方法是解決立體幾何問題的重要方法，通過觀察和分析投影變化，可以揭示幾何體的內(nèi)在本質(zhì).

（2）在教學(xué)中，可以引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)構(gòu)造動(dòng)態(tài)場景，通過拖動(dòng)和觀察來解決幾何問題，激發(fā)學(xué)生的興趣和主動(dòng)性.可以使用模型或計(jì)算機(jī)模擬等工具來展示幾何圖形在平面上的投影變化，幫助學(xué)生直觀地理解射影的概念和原理.

（3）在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行動(dòng)態(tài)方法解題時(shí)，可以提供一些提示和引導(dǎo)，幫助學(xué)生思考如何調(diào)整場景中的元素以獲得更多的信息和線索.引導(dǎo)學(xué)生觀察和思考幾何圖形在不同角方向和角度的投影變化，培養(yǎng)他們的幾何直覺和推理能力.

（4）鼓勵(lì)學(xué)生在解決問題過程中思考和討論，培養(yǎng)他們的合作能力和團(tuán)隊(duì)精神，同時(shí)也可以促進(jìn)他們對幾何問題的深入理解.鼓勵(lì)學(xué)生在解決問題過程中進(jìn)行實(shí)際操作和實(shí)驗(yàn)，通過動(dòng)手實(shí)踐來加深對射影方法的理解和應(yīng)用.同時(shí)，也可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行討論和交流，分享彼此的思考和發(fā)現(xiàn).

5? 結(jié)語

一個(gè)數(shù)學(xué)教師的職責(zé)之一，是“應(yīng)使學(xué)生了解數(shù)學(xué)并非孤立的各門學(xué)問，而是一個(gè)有機(jī)的整體”；德國數(shù)學(xué)家克萊因指出，“有關(guān)的每一個(gè)分支，原則上應(yīng)看做是數(shù)學(xué)整體的代表”，因此有眾多初等數(shù)學(xué)的現(xiàn)象只有在非初等的理論結(jié)構(gòu)內(nèi)才能深刻地理解.一個(gè)稱職的教師應(yīng)當(dāng)掌握數(shù)學(xué)的各種概念、方法及其發(fā)展與完善的過程，了解數(shù)學(xué)歷史和數(shù)學(xué)教育演化的經(jīng)過，基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的教師應(yīng)該站在更高的視角（高等數(shù)學(xué)）來審視、理解初等數(shù)學(xué)問題，只有觀點(diǎn)高了，事物才能顯得明了而簡單.

參考文獻(xiàn)：

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