回歸函數(shù)本性，探討周期數(shù)列

摘 要：周期數(shù)列是巧妙融入函數(shù)的周期性與數(shù)列的基本特征的一類特殊數(shù)列，在一些高考與競賽的數(shù)學(xué)命題中經(jīng)常出現(xiàn).結(jié)合一道大學(xué)綜合評價測試題，借助數(shù)列的創(chuàng)設(shè)，以及數(shù)列周期性的切入方式以及思維方法加以剖析，挖掘周期的本源與應(yīng)用，歸納技巧策略，引領(lǐng)并指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)備考.

關(guān)鍵詞：數(shù)列；周期；函數(shù)；積；歸納

數(shù)列作為一類特殊的定義域為正整數(shù)的函數(shù)，函數(shù)性及其相關(guān)的應(yīng)用是數(shù)列問題及其應(yīng)用中非常普遍存在的一個基本問題.當(dāng)然，在數(shù)列中也必然存在著與函數(shù)的周期性相似的周期數(shù)列及其相關(guān)的應(yīng)用問題.“周期數(shù)列”這個概念在現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)教材中沒有明確地定義過，但與其相關(guān)的數(shù)列及其應(yīng)用問題在一些高考、競賽和模擬試題中卻屢見不鮮，要引起高度的重視.

1 問題呈現(xiàn)

（2023年香港中文大學(xué)（深圳）綜合評價測試數(shù)學(xué)常規(guī)組第2題）數(shù)列{an}滿足an+1=anan+1+an+1，且a1=1+2-3，求數(shù)列{an}前2024項的積.

此題以數(shù)列的首項及數(shù)列的遞推關(guān)系式來創(chuàng)設(shè)問題場景，進(jìn)而確定數(shù)列前若干項的積.題目簡捷明了，直接從數(shù)列的遞推關(guān)系式中看不出具體的聯(lián)系，需要加以恒等變形與轉(zhuǎn)化，而數(shù)列的首項的值也比較復(fù)雜，這給問題的分析與求解造成比較大的困惑，也會讓考生產(chǎn)生畏難情緒.

在實際解決該問題時，可以通過數(shù)列前若干項的值的求解，借助不完全歸納法來確定周期數(shù)列的周期，進(jìn)而加以分析與處理；可以通過數(shù)列的遞推關(guān)系式的變形與轉(zhuǎn)化，借助科學(xué)歸納法來確定周期數(shù)列的周期，為進(jìn)一步解題提供條件；還可以通過數(shù)列的遞推關(guān)系式與三角函數(shù)的正切公式加以聯(lián)系，借助兩角和的正切公式加以變形，為確定周期數(shù)列的周期提供一個全新的思維，對試題加以求解.

該變式借助全新的數(shù)列遞推關(guān)系式的形式，融入周期數(shù)列的函數(shù)性，結(jié)合周期數(shù)列的周期確定，利用數(shù)列遞推關(guān)系式加以分析與應(yīng)用，進(jìn)而得以解決問題.解決問題的關(guān)鍵就是關(guān)系式的變形與轉(zhuǎn)化，以及方程的求解等.

當(dāng)然，借助創(chuàng)新定義的形式來進(jìn)行變式與應(yīng)用，也是變式問題中比較常用的一種技巧方法，融入周期數(shù)列的函數(shù)性，結(jié)合周期數(shù)列的周期確定，利用創(chuàng)新定義的實質(zhì)加以應(yīng)用，實現(xiàn)問題的求解.正確挖掘創(chuàng)新定義的內(nèi)涵與本質(zhì)是解題的關(guān)鍵所在.

4 教學(xué)啟示

此類周期數(shù)列及其綜合問題，表面上看似與周期無關(guān)，從題目條件中的數(shù)列遞推關(guān)系式加以合理變形與轉(zhuǎn)化，構(gòu)造方便推理與轉(zhuǎn)化的關(guān)系式，為進(jìn)一步探尋周期數(shù)列的周期提供條件，充分挖掘數(shù)列的周期性，這也是撬動周期數(shù)列的周期的一個支點，借此可以使得問題迎刃而解.

在實際解決此類同時融合函數(shù)周期性的周期數(shù)列問題時，回歸函數(shù)本質(zhì)往往是解決問題時最為常用的一種思維方式，而合理的歸納推理、數(shù)列運(yùn)算也是解決問題過程中需要涉及的技巧方法，有時還會綜合創(chuàng)新定義以及與題設(shè)條件相對應(yīng)的其他方法，特別是三角函數(shù)的周期性等來巧妙轉(zhuǎn)化.解決問題時，正確、快速確定周期數(shù)列的周期是解決問題的關(guān)鍵所在，為進(jìn)一步進(jìn)行數(shù)列相關(guān)項的求值，數(shù)列求和或數(shù)列求積等提供理論基礎(chǔ).