消除圖形干擾 突破中考壓軸題

摘 要：幾何問題是培養(yǎng)學(xué)生空間觀念、推理能力和創(chuàng)新思維的重要載體，以三角形、四邊形為背景的幾何計(jì)算問題是歷年中考的熱點(diǎn)問題.這類問題呈現(xiàn)的幾何圖形較為復(fù)雜，有些信息對問題解決沒有實(shí)質(zhì)性作用，反而對學(xué)生的解題造成干擾.為此，在解決問題過程中，需消除圖形干擾元素，使圖形明確地反映已知條件與所求結(jié)論之間的關(guān)系.文章以兩道2023年中考幾何試題為例，呈現(xiàn)消除圖形干擾的過程，為問題解決創(chuàng)造便利條件.以此培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力，提升學(xué)生的幾何推理能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：消除；圖形干擾；構(gòu)造；壓軸題

以三角形、四邊形為背景的幾何計(jì)算問題是歷年中考的熱點(diǎn)問題，備受命題者的青睞.這類問題涉及的知識點(diǎn)多，求解方法靈活多樣，通常以壓軸題的形式呈現(xiàn)，具有一定的選拔性功能，對學(xué)生而言具有一定的挑戰(zhàn)性.解決這類問題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形結(jié)構(gòu)特征，厘清已知條件與所求結(jié)論之間的聯(lián)系.為此，需解讀幾何圖形，消除圖形中的干擾元素，使之直觀簡潔地顯現(xiàn)出已知條件與所求結(jié)論，為問題解決創(chuàng)造條件.本文以兩道2023年中考典型的幾何試題為例，消除圖形干擾，突破問題解決瓶頸，供讀者參考.

1 消除圖形干擾信息

例1 （2023年山東省濱州市中考數(shù)學(xué)第16題）如圖1，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段OB，OA上的點(diǎn)，若AE=BF，AB=5，AF=1，BE=3，則BF的長為____.

分析：根據(jù)圖形結(jié)構(gòu)特征，四邊形ABCD是矩形，所以O(shè)B=12BD，OA=12AC，AC=BD，所以O(shè)A=OB，即△AOB是等腰三角形.已知條件與所求結(jié)論均在△AOB中，即只與△AOB有關(guān)，圖1中的其他線段或角只會干擾學(xué)生思考問題，對問題解決沒有實(shí)質(zhì)性幫助作用.基于此，可將圖1中的干擾元素消除，只保留對解決問題有用的圖形信息，得到如下問題1.

問題1 如圖2，在△AOB中，OA=OB，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段OB，OA上的點(diǎn)，若AE=BF，AB=5，AF=1，BE=3，則BF的長為____.

因?yàn)镺A=OB，所以∠OBA=∠OAB.

又因?yàn)锳B=BA，所以△ABM≌△BAN，所以BM=AN，AM=BN.

又因?yàn)锳E=BF，所以△AEM≌△BFN，所以EM=FN.

令EM=x，則BM=3-x，AN=1+x.

由BM=AN，得3-x=1+x，解得x=1，即AN=2.

在Rt△ABN中，BN=AB2-AN2=21.

在Rt△BNF中，BF=BN2+FN2=22.

點(diǎn)評：因?yàn)椤鰽OB是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形重要線段的性質(zhì)“等腰三角形兩腰上的高相等”，易想到構(gòu)造△AEM與△BFN，然后利用全等三角形的性質(zhì)、一元一次方程、勾股定理等知識求解.這種解法通俗易懂，求解過程簡捷明了，是解決這類問題的常用方法.

解法3：如圖4，過點(diǎn)B作BN⊥OA，垂足為點(diǎn)N，在OA上取點(diǎn)G，使AG=BE=3.

點(diǎn)評：根據(jù)圖形結(jié)構(gòu)特征，這種解法通過構(gòu)造等腰三角形FBG解決問題.其主要用到了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，這都是學(xué)生非常熟悉的最基礎(chǔ)最核心的內(nèi)容，這種解法也是解決這類問題的常用方法.

由此可以看出，消除圖形干擾信息，可以使已知條件與所求結(jié)論之間的聯(lián)系外顯化，為解決問題創(chuàng)造便利條件.

例2 （2023年·新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)中考數(shù)學(xué)第15題）如圖5，在ABCD中，AB=6，BC=8，∠ABC=120°，點(diǎn)E是AD上一動點(diǎn)，將△ABE沿BE折疊得到△A′BE，當(dāng)點(diǎn)A′恰好落在EC上時，DE的長為____.

分析：根據(jù)已知條件，本題求解的問題是“當(dāng)點(diǎn)A′恰好落在EC上時，求EC的長”，而圖5反映的是一般情形，點(diǎn)A′并不在線段EC上，所以圖5對解決問題的作用并不大，學(xué)生需根據(jù)所要解決的問題，繪制特殊情形下的圖形.

如圖6，將△ABE沿BE折疊得到△A′BE，點(diǎn)A′恰好落在EC上.與圖5相比，圖6能夠準(zhǔn)確反映已知條件與所求結(jié)論之間的關(guān)系，但其干擾元素依然較多，影響學(xué)生解決問題.

如圖6，根據(jù)已知條件及圖形結(jié)構(gòu)特征，易知A′B=AB=6，∠ABC=120°，所以∠BA′E=∠A=60°，因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以AB=CD，所以A′B=CD=6.在△DCE和△A′BC中，易知∠BA′C=∠D=120°，∠A′CB=∠DEC，A′B=CD=6，由此可知△A′BC≌△DCE，所以BC=EC，即△BCE是等腰三角形.因此，本題的本質(zhì)是如下問題2.

問題2 如圖7，在△DCE中，CD=6，EC=8，∠CDE=120°，求線段DE的長.

顯然，與圖6相比，圖7更簡潔明了，已知條件與所求結(jié)論之間的關(guān)系十分明顯，且圖形中無任何干擾元素，更有利于解決問題.根據(jù)圖形結(jié)構(gòu)特征，本題有多種解法.

解法1：如圖7，令DE=x，由余弦定理可知，EC2=DE2+CD2-2DE·CDcos∠CDE，即82=x2+62-12xcos120°，所以x2+6x-28=0，解得x1=37-3，x2=-37-3

（不合題意，舍去），所以DE=37-3.從學(xué)生角度出發(fā)，可考慮構(gòu)造直角三角形求解.

解法2：如圖8，過點(diǎn)E作EF⊥CD，交CD的延長線于點(diǎn)F.

易知∠EDF=60°，令DE=x，則DF=12x，EF=32x.

在Rt△CEF中，由勾股定理得EF2+CF2=CE2，即32x2+12x+62=82，化簡得x2+6x-28=0，解得x1=37-3，x2=-37-3（不合題意，舍去），所以DE=37-3.

解法3：如圖9，過點(diǎn)C作CG⊥ED，交ED的延長線于點(diǎn)G.

易知∠CDG=60°，在Rt△CDG中，易知DG=3，CG=33.

在Rt△CEG中，由勾股定理得EG=CE2-CG2=37，所以DE=EG-DG=37-3.

點(diǎn)評：根據(jù)圖形結(jié)構(gòu)特征，∠CDE=120°，故易想到構(gòu)造含有60°角的直角三角形解決問題.為此，本題有兩種構(gòu)造直角三角形的方法.在解法2中，構(gòu)造了Rt△CEF和Rt△DEF，其中△DEF是含有60°角的直角三角形，但其三邊均未知，因此，需采用設(shè)元法列方程求解；在解法3中，構(gòu)造了Rt△CEG和Rt△CDG，其中△CDG是含有60°角的直角三角形，其邊CD=6，可利用直角三角形的邊角關(guān)系直接求解.顯然，解法3比解法2更簡捷.這種構(gòu)造直角三角形解決問題的方法也是最基本的方法，是學(xué)生必須掌握的基本技能.

2 總結(jié)反思

幾何問題是培養(yǎng)學(xué)生空間觀念、推理能力和創(chuàng)新思維的重要載體，以三角形、四邊形為背景的幾何計(jì)算問題是歷年中考的熱點(diǎn)問題.解決這類問題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形結(jié)構(gòu)特征，建構(gòu)已知條件與所求結(jié)論之間的聯(lián)系.為了方便解決問題，在解題過程中，需消除圖形中的干擾元素，將與解決問題無關(guān)的點(diǎn)、線段或角從圖形中“隱去”，只呈現(xiàn)與已知條件和所求結(jié)論有關(guān)的部分圖形，達(dá)到排除干擾元素的目的.由解決問題過程可以看出，通過消除干擾元素，一方面，可以使已知條件與所求結(jié)論之間的關(guān)系外顯化，為解決問題創(chuàng)造有利條件；另一方面，可以簡化幾何圖形，排除影響學(xué)生解決問題的不利因素，降低解決問題難度.消除圖形干擾元素的過程是學(xué)生解決幾何問題的一項(xiàng)基本技能，它可以提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，提升學(xué)生的幾何推理能力，對提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)大有裨益.