用等效的思想求簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期

陳剛　王金聚

摘 要：一些振動(dòng)裝置看上去雖非單擺、彈簧振子，但通過(guò)與單擺、彈簧振子模型作比較，卻可以找出與模型中的擺長(zhǎng)、重力加速度、振子質(zhì)量、勁度系數(shù)相等效的量，將這些量代入兩模型的周期公式，同樣可求出這些振動(dòng)裝置的振動(dòng)周期。

關(guān)鍵詞：?jiǎn)螖[；彈簧振子；振動(dòng)裝置；等效量；周期

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-6148（2016）11-0051-3

單擺、彈簧振子是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)常見的理想模型，其振動(dòng)周期分別為T=2π 和T=2π 。但有時(shí)我們會(huì)遇到一些與單擺、彈簧振子模型相類似的振動(dòng)裝置，這些裝置的振動(dòng)周期雖然不能利用上述公式直接得出，但若將它們與單擺、彈簧振子模型作比較，卻可以找到與兩模型周期公式中某些量相對(duì)應(yīng)的等效參量，如等效重力加速度、等效擺長(zhǎng)、等效質(zhì)量、等效勁度系數(shù)等；利用這些等效量同樣可以求得這些裝置的振動(dòng)周期。

1 等效重力加速度

真空中單擺小球的受力最為簡(jiǎn)單：擺線拉力和重力。其受力特點(diǎn)是：重力是一個(gè)恒力。但有些擺動(dòng)的物體受力雖然較多，但除了擺線的拉力外，其余各力的合力仍為一個(gè)恒力，則這一恒力就相當(dāng)于一個(gè)等效的重力，可視為mg′，則g′就是一個(gè)等效的重力加速度，將其代入單擺的周期公式，就可以求得這類擺擺動(dòng)的周期。

例1 如圖1所示，一質(zhì)量為m的擺球固定在邊長(zhǎng)為l0、質(zhì)量不計(jì)的等邊三角支架ABC的頂角A上。三角架可繞固定邊BC自由轉(zhuǎn)動(dòng)，BC邊與豎直方向的夾角為α，求小球m做小幅度振動(dòng)的周期T。

解析 如圖2所示，過(guò)A點(diǎn)作BC的垂線交BC于O點(diǎn)。擺球做微小振動(dòng)時(shí)，其軌跡處在過(guò)A點(diǎn)、垂直于BC的平面內(nèi)，且在以O(shè)為圓心、OA為半徑的一段圓弧上。將重力mg沿OA和垂直于OA的方向分解，則二分力大小分別為mgsinα、mgcosα。與單擺模型相比較，可把該裝置等效于一個(gè)懸點(diǎn)在O點(diǎn)、擺長(zhǎng)為OA的單擺，其等效重力沿OA方向，大小為mg=mgsinα。所以，等效重力加速度g=gsinα，等效擺長(zhǎng)l=l0sin60 °= l0，代入單擺周期公式得該小球的振動(dòng)周期為：

T=2π =2π 。

2 等效擺長(zhǎng)

單擺的擺長(zhǎng)是懸點(diǎn)到擺球重心的距離。單擺的懸點(diǎn)只有一個(gè)，但對(duì)雙線擺而言，卻有兩個(gè)懸點(diǎn)，如果我們想比照單擺的規(guī)律尋找雙線擺的周期，則要在腦子里把雙線擺的雙線等效轉(zhuǎn)化成單線，即把本來(lái)是兩個(gè)懸點(diǎn)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成一個(gè)懸點(diǎn)的問(wèn)題。那么，轉(zhuǎn)化后的這 “一個(gè)懸點(diǎn)”在哪里呢？就需要我們依照單擺的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去尋找。

例2 如圖3所示，由質(zhì)點(diǎn)小球和兩根細(xì)繩組成的擺，兩繩長(zhǎng)分別為L(zhǎng)1、L2，且相互垂直，不等高的懸點(diǎn)O1、O2的水平距離為L(zhǎng)，求該擺在垂直于紙面方向做微小振動(dòng)的周期。

解析 如圖4所示，連接O1、O2，作 ⊥ ，垂足為M點(diǎn)。在球擺動(dòng)的過(guò)程中，△O1O2P以O(shè)1O2為軸轉(zhuǎn)動(dòng)，P點(diǎn)的軌跡是以M點(diǎn)為圓心、MP為半徑的一段圓弧。

實(shí)際上，在例1的解析中我們不僅借助了等效加速度，同時(shí)還借助了等效擺長(zhǎng)的概念。如果沿用例1中“雙等效”的思路，則圖4中的M點(diǎn)就是我們所要尋找的“一個(gè)懸點(diǎn)”，即可以把該擺看作是以MP為擺長(zhǎng)、gcosθ為等效重力加速度的一個(gè)單擺，設(shè)∠OPM=θ，則周期就可以通過(guò)公式T=2π 來(lái)計(jì)算了。

如果我們僅利用等效擺長(zhǎng)的概念能否解決該題呢？答案是肯定的。

從P點(diǎn)作一豎直線交O1O2連線于O點(diǎn)，在原雙線擺擺動(dòng)的過(guò)程中，PO連線上只有O點(diǎn)未發(fā)生移動(dòng)，根據(jù)單擺懸點(diǎn)的特點(diǎn)，O點(diǎn)就是等效單擺的懸點(diǎn)，即我們所要尋找的“一個(gè)懸點(diǎn)”。OP的長(zhǎng)度就是等效擺的擺長(zhǎng)，設(shè) =l，則周期為T=2π =2π ，這與上述用“雙等效”的思路推出的結(jié)果完全一致。

3 等效質(zhì)量

一些含有彈簧的振動(dòng)裝置，與彈簧相連的可能不是一個(gè)簡(jiǎn)單的振動(dòng)小球，而是有幾個(gè)物體構(gòu)成的連接體。要想求得在此種情況下該裝置的振動(dòng)周期，就需要把這些連接體等效轉(zhuǎn)化成一個(gè)振動(dòng)小球來(lái)看待。如果連接體內(nèi)的物體處在加速狀態(tài)，我們還要借助牛頓運(yùn)動(dòng)定律來(lái)計(jì)算振動(dòng)小球的等效質(zhì)量。

例3 一簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)如圖5所示，彈簧下端固定，滑輪質(zhì)量不計(jì)，繩不可伸長(zhǎng)，彈簧及兩滑輪外的細(xì)繩都呈豎直狀態(tài)，不計(jì)一切摩擦。已知m1、m2的質(zhì)量及彈簧的勁度系數(shù)k，求m2上下振動(dòng)的周期T。

解析 由于題中沒有給出m1、m2的量值大小關(guān)系，故系統(tǒng)平衡時(shí)彈簧是伸長(zhǎng)還是壓縮狀態(tài)我們無(wú)法確定。在不影響最終結(jié)果的前提下，我們不妨任意假設(shè)一種情況——設(shè)系統(tǒng)平衡時(shí)彈簧是伸長(zhǎng)的，其伸長(zhǎng)量為x0。則對(duì)m1有

與牛頓第二定律比照可知：式中的m1+ 可視為m1、m2組合的等效質(zhì)量。將該等效質(zhì)量代入彈簧振子的周期公式T=2π ，即可求得該裝置的振動(dòng)周期T=2π 。

4 等效勁度系數(shù)

在光滑水平面上振動(dòng)的彈簧振子受力最為簡(jiǎn)單：所受合力就是彈簧的彈力，其大小滿足胡克定律F=kx，其中k是彈簧的勁度系數(shù)，F(xiàn)與x方向相反。有些振動(dòng)裝置雖無(wú)彈簧，且看上去與彈簧振子模型相去甚遠(yuǎn)，但我們?nèi)钥砂阉c彈簧振子模型相類比，找出振子所受回復(fù)力與位移的大小關(guān)系式F=F（x）。如果回復(fù)力與位移大小成正比，即F∝x，則我們就可以把比例系數(shù) =k等效看作是某一彈簧的勁度系數(shù)，將k值代入T=2π 同樣可求得這些裝置的振動(dòng)周期。

例4 如圖6所示，一質(zhì)量為m的柱體圓木，直立于密度為ρ的液體中，浸沒部分的體積為V0，圓木橫截面的直徑為D?，F(xiàn)用手緩緩將圓木下按后釋放，圓木就會(huì)上下振動(dòng)。水的阻力不計(jì)，已知重力加速度為g，試求這一振動(dòng)的周期T。

等效法在生活中有著廣泛的應(yīng)用，像曹沖稱象、阿基米德測(cè)量皇冠的體積等故事，都巧妙地利用等效的觀點(diǎn)解決了一些看似難以解決的問(wèn)題。但是，我們?cè)诶玫刃Хㄌ幚韱?wèn)題時(shí)務(wù)必要小心謹(jǐn)慎、三思而后行，切記利用等效法的前提是等效。不抓住等效這一先決條件，主觀臆斷，將本不等效的東西生拉硬扯地作“等效處理”，就會(huì)得出錯(cuò)誤的結(jié)果。

參考文獻(xiàn)：

[1]陳棟梁，陳鋼.“面擺”的等效擺長(zhǎng)[J].物理教學(xué)，2014（12）51—52.

[2]扈劍華.首輔一號(hào)[M].北京：光明日?qǐng)?bào)出版社，2004.

（欄目編輯 陳 潔）