一道向量?？荚囶}的解法探究*

劉 瓊

(浙江省衢州市第二中學(xué),324000)

一、試題呈現(xiàn)

已知平面向量a,b,c滿足|a-b|=a·b+1,|a|=|c|=1,則|3a-b+c| 的最小值為______.

二、解法探究

又|a|=1,所以1+b2=(a·b)2+4a·b+1,整理可得b2=(a·b)2+4a·b.

所以|3a-b|2=9a2+b2-6a·b=9+[(a·b)2+4a·b]-6a·b=9+(a·b)2-2a·b.

由|a-b|=a·b+1,兩邊平方可得x2-2x+1+y2=x2+2x+1,即y2=4x.

評注解法2運(yùn)用坐標(biāo)法,思路清晰、計(jì)算簡潔.

解法3假設(shè)a·b<0,則a·b+1<1,-2a·b>0，結(jié)合|a|=1,可得(a-b)2=a2+b2-2a·b=b2-2a·b+1>b2+1≥1,亦即|a-b|>a·b+1.這與|a-b|=a·b+1 相矛盾,所以假設(shè)不成立,亦即a·b≥0.

若a·b>0,記向量a與b的夾角為θ,則當(dāng)θ=0時(shí),a·b+1=|a||b|cos 0+1=|b|+1=|b|+|a|>|a-b|,與|a-b|=a·b+1 相矛盾,故θ≠0.

當(dāng)b=0時(shí),點(diǎn)B與點(diǎn)O重合,而AO=OK,所以點(diǎn)B到定點(diǎn)A的距離和到定直線l的距離相等.由拋物線的定義,點(diǎn)B的軌跡為一條拋物線(記為C),定點(diǎn)A為拋物線C的焦點(diǎn),定直線l為拋物線C的準(zhǔn)線.

如圖2,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,由AO=1,易得拋物線C的方程為y2=4x.

評注解法3根據(jù)已知條件,結(jié)合拋物線的定義,揭示了命題的幾何模型;再建立平面直角坐標(biāo)系,通過代數(shù)運(yùn)算推出結(jié)果,顯示了幾何與代數(shù)的完美銜接.

三、結(jié)束語

我們在向量教學(xué)的過程中,要注意突出幾何直觀與代數(shù)運(yùn)算之間的融合,讓學(xué)生充分感受數(shù)形結(jié)合思想;使學(xué)生在掌握“四基”、提高“四能”的過程中,學(xué)會有邏輯地、創(chuàng)造性地思考,形成數(shù)學(xué)的思維方式,發(fā)展理性思維,養(yǎng)成科學(xué)精神.