高中數(shù)列問題中的“陷阱”

阮聯(lián)玉

(陜西省丹鳳中學(xué),726200)

數(shù)列問題在高考中考查越來越靈活,其難度適中,但學(xué)生卻常常很難得滿分.究其原因,多數(shù)是解答時(shí)忽略條件,踩中“陷阱”.本文就高中數(shù)列問題中的常見丟分點(diǎn)進(jìn)行歸納,分析其原因,找到應(yīng)對(duì)策略,希望能給學(xué)習(xí)者一個(gè)提醒和幫助.

一、條件不等價(jià),掉入“陷阱”

例1在等比數(shù)列{an}中，已知a5+a1=34,a5-a1=30,則a3=( )

(A)8 (B)-8 (C)±8 (D)16

正解由題意可解得a1=2,a5=32,因?yàn)閿?shù)列{an}為等比數(shù)列，所以32=2q4,解得公比q=±2.又因?yàn)閍3=a1q2=8,所以選A.

變式題在等比數(shù)列{an}中，已知a2 012=4,a2 024=16,則a2 018=______.(參考答案：8)

例2等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,S2=7,S6=91,則S4=( )

(A)28 (B)32

(C)-21 (D)28或-21

錯(cuò)解由等比數(shù)列前n項(xiàng)的和性質(zhì)，得S2,S4-S2,S6-S4也成等比數(shù)列，所以(S4-S2)2=S2(S6-S4),得S4=28或-21.選D.

正解同上解得S4=28或-21.

因?yàn)镾4=a1+a2+a3+a4=a1+a2+a1q2+a2q2=(a1+a2)(1+q2)=S2(1+q2)>0,所以S4=28.選A.

二、討論不全面，掉入“陷阱”

例3求和Sn=x+2x2+3x3+…+nxn.

錯(cuò)解由通項(xiàng)公式可以看出該數(shù)列是等差數(shù)列乘以等比數(shù)列，可用錯(cuò)位相減法求和.

正解當(dāng)x=0時(shí)，Sn=0.

綜上，可得

評(píng)注在含字母的數(shù)列中，一定不能忘了字母是否為零的情況.在等比數(shù)列求和時(shí)，一定不能忽略對(duì)公比是否為1的情況，注意進(jìn)行討論.

(參考答案：B)

三、數(shù)不清項(xiàng)數(shù)，掉入“陷阱”

例4和式1+4+7+10+…+(3n+7)=( )

可知選C.

評(píng)注給n取數(shù)值代入通項(xiàng)公式，若與第一項(xiàng)不相同，說明就不是前n項(xiàng)的和.求出等差數(shù)列的通項(xiàng)，與題中最后一項(xiàng)作差，再除以公差，可明確多出的項(xiàng)數(shù).

四、首項(xiàng)找不對(duì)，掉入“陷阱”

例5已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+1=2an+1，求通項(xiàng)公式an.

錯(cuò)解因?yàn)閍n+1+1=2an+2=2(an+1),所以{an+1}是公比為2的等比數(shù)列.首項(xiàng)a1=1,故an+1=2n-1,可得an=2n-1-1.

正解因?yàn)閍n+1+1=2an+2=2(an+1),所以{an+1}是公比為2的等比數(shù)列.由于等比數(shù)列的首項(xiàng)是a1+1=2,所以an+1=2·2n-1,得an=2n-1.

評(píng)注構(gòu)造新的數(shù)列后,新數(shù)列的首項(xiàng)是n取1時(shí)整個(gè)式子的值,而不再是原來數(shù)列的首項(xiàng)a1.為了避免錯(cuò)誤,也可以換元,用整體思想比較好理解.

五、單調(diào)性理解錯(cuò)誤,掉入“陷阱”

例6已知數(shù)列{an}滿足an=n2-λn,若數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列,則λ的取值范圍是______.

正解2由數(shù)列單調(diào)性的定義可得an+1>an,所以(n+1)2-λ(n+1)>n2-λn,即λ<2n+1對(duì)任意n∈N*成立，所以λ<3，得λ的取值范圍為(-∞,3).