一道圓錐曲線壓軸題的解法探究

王昌林 羅萍雙

(四川電影電視學(xué)院實(shí)驗(yàn)中學(xué)，611331)

一、試題呈現(xiàn)

(1)求E的方程;

二、解法探究

綜上,直線HN過定點(diǎn)A(0,-2).

評注解法1是求解通法,但要對直線斜率是否存在進(jìn)行討論,過程較繁瑣.改變直線方程的設(shè)定方式,可得如下解答.

解法2設(shè)點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2),直線MN的方程為x-1=m(y+2).

①

評注將直線方程設(shè)為x=my+n形式有效避免了對直線斜率的討論,但運(yùn)算過程仍較為復(fù)雜.究其原因在于橢圓方程的“不特殊”,若是將橢圓移動(dòng)到較為特殊的位置是否方便計(jì)算呢?由此產(chǎn)生以下解法3的解答過程.

3y1y2=x1y2+x2y1.

②

評注將橢圓進(jìn)行平移后,整個(gè)解答過程無論是計(jì)算量還是式子的復(fù)雜程度都明顯有了一定的簡化.回顧解法2與解法3,將直線方程設(shè)為x=my+n可以有效簡化解答過程.

評注將直線方程用參數(shù)形式也是解決直線與圓錐曲線問題的常用方法.由本解法的特殊性,想到借助向量驗(yàn)證A,H,N三點(diǎn)共線,此外還可以借助斜率相等進(jìn)行證明,因此產(chǎn)生如下解法.