高三數(shù)學綜合測試

一、單項選擇題(本大題共8小題，每小題5分，計40分)

1.已知集合A={x|1

(A){0,3,4,5} (B){0,1,3,4,5}

(C){0,4,5} (D){0,1,4,5}

(A)第一象限 (B)第二象限

(C)第三象限 (D)第四象限

3.已知平面向量a=(1-x,3+x),b=(2,1+x),若a·b=4,則a與b的夾角為( )

6.如圖，已知正四棱錐P-ABCD的底面邊長和高的比值為t，若點E是棱PD的中點，則異面直線PB與CE所成角的正切值為( )

7.設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x+4),且f(x+1)是奇函數(shù)，則( )

(A)f(x)是偶函數(shù)

(C)f(x)是奇函數(shù)

8.已知點A在圓C:x2+y2-2x-2y-2=上，點M(-2-3m,4m),N(-2-3n,4n),m≠n，若對任意的點A，總存在點M，N，使得∠MAN≥90°，則|m-n|的取值范圍為( )

(A)[2,+∞) (B)[1,2]

二、多項選擇題(本大題共4小題，每小題5分,計20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分)

9.為了解某地夜間居民區(qū)噪聲污染情況，某檢測機構(gòu)對當?shù)匾恍^(qū)夜間30分鐘內(nèi)的聲音強度進行監(jiān)測，并得到如下折線圖.則下列說法正確的是( )

(A)第17分鐘的聲音強度最大

(B)前15分鐘聲音強度的平均值小于后15分鐘聲音強度的平均值

(C)前15分鐘聲音強度的標準差小于后15分鐘聲音強度的標準差

(D)前15分鐘聲音強度的極差大于后15分鐘聲音強度的極差

11.已知O為坐標原點，經(jīng)過點M(1,m)且斜率為k的直線l與雙曲線x2-y2=1相交于不同的兩點P，Q，則( )

(A)x1+x2+x3的取值范圍為(2,3)

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，計20分)

13.已知隨機變量X～N(1,σ2),且P(X<0)=0.3,則P(X≤2)=______.

14.已知等比數(shù)列{an}中，a15=15,則9a9+a21的最小值為______.

15.若對任意的x∈[1,4],都有x|x-a|>x2-3x+4,則實數(shù)a的取值范圍為______.

四、解答題(本大題共6小題，計70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

在?ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c______.

(1)求A;

(2)若AB=3AC,且∠BAC的平分線上的點D滿足BD=CD，求∠BDC.

注:如果選擇多個條件分別解答按第一個解答計分.

(1)求1次猜燈謎游戲中，甲得分的分布列與數(shù)學期望;

(2)設(shè)3次猜燈謎游戲后累計得分為正者獲勝，求甲獲勝的概率.

19.(本小題滿分12分)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn且滿足2Sn=an+n2+λn+1(λ為常數(shù)).

(1)若λ=1,求S100;

(2)是否存在實數(shù)λ，使得數(shù)列{an}為等差數(shù)列?若存在，求出λ的值;若不存在，請說明理由.

20.(本小題滿分12分)如圖(a),在平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AB=1,BC=2,將?ACD沿AC折起，使得點D到點P的位置，如圖(b).設(shè)經(jīng)過直線PB且與直線AC平行的平面為α，平面α∩平面PAC=m，平面α∩平面ABC=n.

(1)證明:m∥n;

(1)求拋物線Ω的標準方程;

(2)設(shè)點A(0,-4),B(8,4),若過A的直線與拋物線Ω交于不同的兩點M，N，且直線MB與拋物線Ω交于點Q(不同于點M),問直線QN是否經(jīng)過定點?若經(jīng)過，求出定點坐標;若不經(jīng)過，請說明理由.

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)判斷f(x)的零點個數(shù).

參考答案

一、單項選擇題

1.B;2.D;3.B;4.D;5.B;

6.C;7.C;8.A.

二、多項選擇題

9.ABC;10.AB;11.AD;12.ACD.

三、填空題

13.0.7;14.90;

四、解答題

17.(1)選條件①

選條件②.

選條件③.

18.(1)在1次猜燈謎游戲中，甲的得分記為ξ，則ξ的所有可能取值為1,0,-1.

ξ10-1P1471216

19.(1)由條件，得2Sn=an+n2+λn+1,2Sn-1=an-1+(n-1)2+λ(n-1)+1(n≥2),兩式相減得2an=an-an-1+2n-1+λ，即an+an-1=2n-1+λ(n≥2).

(2)存在λ=-2,使{an}為等差數(shù)列.具體理由如下.

當n=1,2,3時,易得a1=λ+2,a2=1,a3=λ+4.假設(shè)存在λ，使{an}為等差數(shù)列，則a1+a3=2a2，解得λ=-2.

所以an+an-1=2n-3(n≥2),有an+1+an=2n-1,從而an+1-an-1=2(n≥2).故{an}的奇數(shù)項構(gòu)成等差數(shù)列,偶數(shù)項也構(gòu)成等差數(shù)列,且公差均為2.

20.(1)因為AC∥平面α，AC?平面PAC，平面α∩平面PAC=m，所以AC∥m.

因為AC∥平面α，AC?平面ABC，平面α∩平面ABC=n，所以AC∥n，進而m∥n.

所以拋物線Ω的標準方程為x2=8y.

設(shè)點Q(x3，y3),則同理可得直線QM的方程為(x1+x3)x-8y-x1x3=0,直線QN的方程為(x2+x3)x-8y-x2x3=0.

若00,f(x)在(0,a)單調(diào)增;當x∈(a,1)時,f′(x)<0,f(x)在(a,1)單調(diào)減;當x∈(1,+∞)時,f′(x)>0,f(x)在(1,+∞)單調(diào)增.

若a=1,則f′(x)≥0,f(x)在(0,+∞)單調(diào)增.

若a>1,則當x∈(0,1)時，f′(x)>0,f(x)在(0,1)單調(diào)增;當x∈(1,a)時，f′(x)<0,f(x)在(1,a)單調(diào)減;當x∈(a+∞)時，f′(x)>0,f(x)在(a+∞)單調(diào)增.

綜上，當0

在(0,+∞)單調(diào)增;當a>1時，f(x)在(0,1), (a+∞)單調(diào)增，在(1,a)單調(diào)減.

綜上,f(x)的零點個數(shù)為1.