一道橢圓問題的還“圓”處理*

劉曉麗 劉 銀

(江蘇省鎮(zhèn)江市第一中學(xué),212003)

圓是最美的幾何圖形,它既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.

將圓進(jìn)行某種伸縮變換可以得到橢圓;反之,橢圓可以看成由圓經(jīng)過伸縮變換變形而成.因此,圓與橢圓血脈相通，二者之間有著諸多相似的性質(zhì).若能將橢圓上的一些幾何關(guān)系等價轉(zhuǎn)化到圓上,復(fù)雜問題往往會變得柳暗花明.本文運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想,將涉及橢圓的一道有關(guān)三角形面積的最值問題轉(zhuǎn)換為圓中對應(yīng)三角形面積的最值問題,展示橢圓問題“還原”成圓來進(jìn)行簡便處理時具備的神奇功效.

一、問題呈現(xiàn)

(1)求橢圓C得方程;

(2)直線l與橢圓C交于點(diǎn)P,Q,線段PQ的中點(diǎn)H,O為坐標(biāo)原點(diǎn),且OH=1,求?POQ面積的最大值.

本題以直線和圓錐曲線為背景,屬于考查圓錐曲線的常見題型,綜合性較強(qiáng),能較好地反映學(xué)生的邏輯思維能力、基本運(yùn)算求解能力和幾何直觀等核心素養(yǎng).

二、突破求解

對于第(2)小問,從題型上看考查的是解析幾何中三角形面積的最值問題,實(shí)質(zhì)為求函數(shù)最值問題,求解的關(guān)鍵在于設(shè)參數(shù)建立函數(shù)關(guān)系式.根據(jù)本題條件求?POQ的面積,應(yīng)把目標(biāo)放在確定底和高上.根據(jù)已知條件可以選擇以O(shè)H為底,點(diǎn)P,Q到直線OH的距離為高;或?qū)⒌捉⒃谧鴺?biāo)軸上,以點(diǎn)P,Q橫(縱)坐標(biāo)差為高,進(jìn)而求得三角形面積,建立函數(shù)關(guān)系式,這是學(xué)生容易想到的常規(guī)解法.但如果能稍微變換一下思維,把涉及橢圓的問題還原到圓中,會有意想不到的效果.

解如圖1,以橢圓C的長軸為直徑作圓O:x2+y2=4,分別過點(diǎn)P,Q作直線PA,QB平行于y軸,交圓O于點(diǎn)A,B.則依題意可得

綜上,?POQ面積的最大值為1.

評注本題也可以將橢圓長軸橫向壓縮,將已知條件等價轉(zhuǎn)化到圓上，解法類似.本解法具有高等幾何伸縮變換的高數(shù)背景,是高觀點(diǎn)下的初等解法,特別是伸縮變換保持三點(diǎn)共線關(guān)系的解釋生動形象,易于被中學(xué)生接受.

三、教學(xué)思考

優(yōu)化解題過程是提高解析幾何解題速度和準(zhǔn)確性的良方.上述解法采用數(shù)形結(jié)合和仿射變換思想,巧妙地將圓和橢圓有機(jī)結(jié)合,使人賞心悅目、耳目一新.上述解法計(jì)算量小,但思維量大,尤其對“點(diǎn)D也在直線AB上”的把握有難度.對于常規(guī)解法,很多同學(xué)有思路、有想法,但由于運(yùn)算繁瑣只能放棄.葡萄甜不甜,只有吃過才知道.課堂教學(xué)不能只分析思路、指出方法的可行性,嘗試——失敗——再嘗試——再失敗——直到成功,這樣的過程讓學(xué)生收獲到的遠(yuǎn)比一道問題的解法來得更多.所以,我們一方面應(yīng)將具體運(yùn)算過程展示給學(xué)生,幫助學(xué)生提升各運(yùn)算節(jié)點(diǎn)的處理策略,進(jìn)而優(yōu)化解題過程;同時另一方面也要幫助學(xué)生樹立信心,無論走哪條路徑,選定目標(biāo)后可以堅(jiān)持“算”下去.但在動筆“算”之前,應(yīng)該先通過數(shù)學(xué)直覺預(yù)估一下解題成本和解題風(fēng)險,考慮所選參數(shù)和路徑的繁冗程度,最后盯住目標(biāo),抓問題本質(zhì),堅(jiān)持就是勝利.

圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難點(diǎn),也是重點(diǎn).圓錐曲線是解析幾何的核心內(nèi)容,也是高考內(nèi)容的必考之一.若想快速找到合適的解決方法,平時學(xué)習(xí)過程中要多思、多練、多算,考場上才能游刃有余.蜜蜂采蜜不怕千辛萬苦,學(xué)子求學(xué)何懼算個最值.