再談高考題與保送題

單 墫

(南京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,210023)

一、再談比較大小

2021年高考有道題:

(A)c

(C)a

我曾寫過文章“何不使用計算器”,呵呵,在大學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)教育中使用計算器,很多比較大小的問題,有了計算器便迎刃而解,不要再用作考題.除非像本文開始那樣簡單的問題,或者…,或者什么呢?

57>310,

①

得

②

但① 或② 從何而來?即7與10從何而來?

飛將軍從天而降.

一個辦法是嘗試.另一個辦法,我在上面提及的文章中說過,背景是連分數(shù)的漸近分數(shù).

我們有

=[1,2,2,1,1,1,2].

ak1221112p113710q01257

計算方法是最上面的數(shù)ak(第一行即[1,2,2,1,1,1,2])乘以pk-1,再加上pk-2,即

pk=akpk-1+pk-2;

同樣,

qk=akqk-1+qk-2.

例如表中(第一列給定,第二列分子p=[α],分母q=1),則第三列的p=2×1+1=3,q=2×1+0=2;第五列的p=1×7+3=10,q=1×5+2=7.

若再算,第六列為p=1×10+7=17,q=1×7+5=12.

這就是10與7的來源.

二、也來一道壓軸題

做一道壓軸題(倒數(shù)第二道題),這是北大2011年保送生的考題.

試題2已知函數(shù)f(x)=x2+px+q,p,q為實數(shù),方程f(f(x))=0 有且只有一個實根求證:

p≥0,q≥0.

③

這題不難.方程的根,即方程組

④

⑤

的根中的x.

④ 是的二次方程,有兩個根.若有重根,則兩根皆重(且共軛).但這時f(x)=u無實根x,所以④ 的根u1,u2均為實數(shù).

若u1=u2,則

p2=4q.

⑥

而方程f(x)=u(即x2+px+(q-u)=0)有且僅有一個實根,所以

p2=4(q-u)

⑦

比較⑥ ⑦ 兩式,得u=0,從而q=u2=0,p=-2u=0.

若u1≠u2,則

p2>4q,

⑧

f(x)=u1,

⑨

f(x)=u2

⑩

中至少有一個且僅有一個實根.設(shè)⑨ 有一個且僅有一個實數(shù)根,因為u1≠u2,所以⑩ 的根不可能與⑧ 相同,從而無實數(shù)根.

由⑨ 僅有一個實數(shù)根,得p2=4(q-u1).將該式與⑧ 比較,得u1<0.

注不宜將f(f(x))寫成(x2+px+q)2+p(x2+px+q)+q,再作討論.