讓化歸思想轉(zhuǎn)化得巧妙、自然

魏重霞

[摘要]化難為易、化繁為簡(jiǎn)、化未知為已知是化歸思想的核心，它貫穿于數(shù)學(xué)解題研究的始終.想要讓化歸思想轉(zhuǎn)化得巧妙、自然，文章認(rèn)為可從以下幾方面著手：將未知問(wèn)題已知化，便于理解;將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，便于突破;將抽象問(wèn)題直觀化，便于認(rèn)識(shí);將函數(shù)問(wèn)題方程化，便于解題.

[關(guān)鍵詞]化歸思想;數(shù)學(xué)教學(xué);問(wèn)題

化歸思想是辯證唯物主義的基本觀點(diǎn)，它主要是將復(fù)雜的問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化處理，實(shí)現(xiàn)化繁為簡(jiǎn)、化生疏為熟悉的目標(biāo)，利于問(wèn)題的解決.初中數(shù)學(xué)中常用的化歸思想有：配方法、待定系數(shù)法、整體代入法等，學(xué)生的思維也由抽象轉(zhuǎn)化為具體.化歸思想既是一種重要的數(shù)學(xué)思想，也是最基本的解題策略，還是一種行之有效的思維方式.鑒于此，本文就如何在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中靈活應(yīng)用化歸思想，以優(yōu)化數(shù)學(xué)教學(xué)談幾點(diǎn)看法.

將未知問(wèn)題已知化，便于理解

數(shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī)的整體，知識(shí)與知識(shí)之間有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系.利用好知識(shí)間的聯(lián)系，可將一些生疏的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為認(rèn)知范圍以內(nèi)的問(wèn)題，在理解的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移，為解題服務(wù).為了建立知識(shí)間的聯(lián)系，化未知為已知，教師可引導(dǎo)學(xué)生將前后所學(xué)知識(shí)進(jìn)行類比，只要找出其中存在的內(nèi)在邏輯關(guān)系，即能發(fā)現(xiàn)它們之間的異同處，再通過(guò)分析、歸納與總結(jié)即可實(shí)現(xiàn)時(shí)空維度上的鏈接.

案例1“二元一次方程”的教學(xué)

本章節(jié)教學(xué)前，學(xué)生對(duì)一元一次方程已經(jīng)有了較為深刻的理解.教學(xué)時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生將未知的二元一次方程轉(zhuǎn)化為認(rèn)知領(lǐng)域中所熟悉的一元一次方程來(lái)進(jìn)行分析、求解.

學(xué)生初次看到這個(gè)問(wèn)題，有點(diǎn)蒙圈，感到既新鮮又陌生.為了鼓勵(lì)學(xué)生自主獲得問(wèn)題的答案，教師可引導(dǎo)學(xué)生思考：該方程組與一元一次方程相比，有什么異同點(diǎn)呢？很顯然，這兩者最大的區(qū)別就是未知數(shù)的數(shù)量.此時(shí)，可鼓勵(lì)學(xué)生想辦法去掉一個(gè)未知數(shù).

學(xué)生經(jīng)過(guò)自主思考與合作探究，獲得以下解題方法：①將x+y=3這個(gè)方程轉(zhuǎn)化成y=3-x，再將y=3-x代入到方程x+2y=4中，此時(shí)可得到一個(gè)一元一次方程6-x=4，本題x的值就昭然若揭了，y值也呼之欲出;②分別將兩個(gè)方程視為一個(gè)整體，將它們相減，可獲得y=1的結(jié)論，再將y值代入式子x+y=3或x+2y=4中，即可獲得x=2的解.

第一種解題方法就是我們常用的代入消元法，第二種是加減消元法，這兩種方法都是將學(xué)生未知的二元一次方程轉(zhuǎn)化為已知的一元一次方程進(jìn)行解題.這也是化歸思想中，典型的化未知為已知的解題過(guò)程.此過(guò)程實(shí)現(xiàn)了學(xué)生新舊知識(shí)的溝通，化歸思想將學(xué)生的思維從舊知引向了新知，從而有效地激發(fā)了學(xué)生的探究興趣.尤其是學(xué)生自主探究的過(guò)程，不僅豐富了學(xué)生的思維，還鍛煉了學(xué)生的解題能力，為自主獲得良好的解題技巧奠定了基礎(chǔ).由此可見(jiàn)，化歸思想的應(yīng)用，有效地優(yōu)化了本節(jié)課的課堂教學(xué).

將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，便于突破

波利亞認(rèn)為：“數(shù)學(xué)教師應(yīng)想盡一切辦法，來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的解題能力.”縱觀近些年的中考試題，會(huì)發(fā)現(xiàn)綜合性的問(wèn)題越來(lái)越多，且越來(lái)越新穎.抽絲剝繭，發(fā)現(xiàn)這些復(fù)雜的問(wèn)題都是由基礎(chǔ)性的知識(shí)加工而來(lái).想要突破這些復(fù)雜的問(wèn)題，只要將問(wèn)題去偽求真，通過(guò)轉(zhuǎn)化、還原等方式，找出問(wèn)題的原型，再逐個(gè)突破，即可達(dá)到解題的目的.

案例2“三角函數(shù)”的教學(xué)

問(wèn)題：如圖1所示，某酒店要給一段高2m，坡角30°的樓梯鋪上地毯，求地毯的長(zhǎng)度.

學(xué)生初次看到本題，首先想到的是求出每一級(jí)臺(tái)階所需耗費(fèi)地毯的長(zhǎng)度，然后再乘臺(tái)階的數(shù)量，即可獲得問(wèn)題的答案.但題設(shè)條件中并不存在每級(jí)臺(tái)階的數(shù)據(jù)，這給解題帶來(lái)了障礙.若換一個(gè)角度來(lái)思考本題，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成我們所熟悉的內(nèi)容，即改變一下求和的順序，或許會(huì)有新的突破.

面對(duì)無(wú)從下手的問(wèn)題時(shí)，教師可鼓勵(lì)學(xué)生換個(gè)角度去觀察與思考，或許就能撥開(kāi)云霧見(jiàn)天日.學(xué)生通過(guò)自主觀察與分析，將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)化成熟悉的問(wèn)題，不僅打開(kāi)了解題思路，實(shí)現(xiàn)了思維的提升，還有效地鍛煉了自身的解題能力，為創(chuàng)新意識(shí)的形成與核心素養(yǎng)的提升奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

將抽象問(wèn)題直觀化，便于認(rèn)識(shí)

數(shù)學(xué)具有抽象、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)忍攸c(diǎn)，而初中階段學(xué)生的思維又處于直觀形象思維向抽象邏輯思維轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵期.如何利用數(shù)學(xué)教學(xué)幫助學(xué)生順利實(shí)現(xiàn)思維的轉(zhuǎn)換，是筆者一直探索的問(wèn)題之一.實(shí)踐證明，利用數(shù)形結(jié)合思想，將抽象的數(shù)量關(guān)系用直觀的圖形表示，或?qū)?fù)雜的圖形用簡(jiǎn)潔的數(shù)量關(guān)系來(lái)表達(dá)，能有效地提高教學(xué)效率，這也是化歸思想的重要內(nèi)容之一.

案例3“函數(shù)范圍”的解題教學(xué)

一道復(fù)雜的函數(shù)問(wèn)題，通過(guò)圖形的構(gòu)造，變得尤為簡(jiǎn)單.在學(xué)生驚嘆于數(shù)形轉(zhuǎn)化的便利之時(shí)，也深刻領(lǐng)悟了數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用，由此也切身體會(huì)了化歸思想對(duì)解題大有裨益.數(shù)形轉(zhuǎn)化不僅將復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單、具體的圖形，更重要的是讓學(xué)生對(duì)這種轉(zhuǎn)化過(guò)程產(chǎn)生了非常直觀的認(rèn)識(shí)，從而對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生濃厚的興趣.

將函數(shù)問(wèn)題方程化，便于解題

函數(shù)問(wèn)題與方程的互相轉(zhuǎn)化，需要挖掘這兩者之間的契合點(diǎn)，把復(fù)雜的函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單、直觀的方程組，可簡(jiǎn)化問(wèn)題難度，實(shí)現(xiàn)解題.不少函數(shù)問(wèn)題需借助圖像來(lái)實(shí)現(xiàn)兩者間的互相轉(zhuǎn)化.當(dāng)遇到用常規(guī)方法雖能解題，但存在過(guò)程冗長(zhǎng)，計(jì)算繁雜等狀況，稍有不慎就會(huì)出現(xiàn)失誤時(shí)，則可考慮用圖像或方程來(lái)化繁為簡(jiǎn)，突出解題過(guò)程，讓思維有跡可循.

案例4“兩圖形交點(diǎn)問(wèn)題”的探究

從問(wèn)題的表面來(lái)看，能確定本題是關(guān)于兩個(gè)圖形交點(diǎn)的問(wèn)題，題設(shè)條件中所呈現(xiàn)的a，b，c都是模糊的參數(shù)，因此讓本題變得更加撲朔迷離，也讓不少學(xué)生感到不知以何處作為解題的切入點(diǎn).

考慮用常規(guī)解題方法解決本題，存在的問(wèn)題是直線與拋物線的位置定位不清，若不考慮a，b，c的大小，將它們都理解為確切的量，同時(shí)用它們來(lái)表示其他未知的一些數(shù)，如此則可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為學(xué)生所熟悉的求方程解的問(wèn)題.

本題巧妙地運(yùn)用化歸思想，實(shí)現(xiàn)了函數(shù)問(wèn)題與方程問(wèn)題的靈活轉(zhuǎn)化，學(xué)生不僅深切體會(huì)了將函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題的便捷性，還有效地拓展了解題思路，形成了一定的解題技巧，感知數(shù)學(xué)獨(dú)有魅力的同時(shí)，有效地提升了解題能力.

波利亞認(rèn)為：“解題時(shí)，我們要不斷地變換問(wèn)題，用不同的形式去表述問(wèn)題，則能從中發(fā)現(xiàn)一些有用的東西.”想讓化歸思想轉(zhuǎn)化得巧妙、自然，就需要教師引導(dǎo)學(xué)生勤思考、多分析，從問(wèn)題的多角度去探究，從而建構(gòu)完整的認(rèn)知體系，為形成終身可持續(xù)性發(fā)展的能力奠定基礎(chǔ).