不等式恒成立問(wèn)題的解法探究——2022年新高考全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)第22題

摘 要：本文以2022年新高考全國(guó)Ⅱ卷第22題為例，對(duì)題目進(jìn)行多角度分析，總結(jié)高考中常見(jiàn)的不等式恒成立問(wèn)題的解題策略，同時(shí)給出備考建議.

關(guān)鍵詞：新高考;函數(shù)與導(dǎo)數(shù);數(shù)列

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1008-0333（2022）22-0036-03

2022年的高考數(shù)學(xué)卷著眼于對(duì)數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查，其中新高考Ⅱ卷第22題則是將導(dǎo)數(shù)、不等式、數(shù)列有機(jī)結(jié)合對(duì)學(xué)生進(jìn)行考查.下面將對(duì)新高考Ⅱ卷第22題進(jìn)行解答與分析.1 試題呈現(xiàn)與評(píng)析

試題評(píng)析 本題第（1）小問(wèn)討論函數(shù)單調(diào)性，主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系等知識(shí);考查學(xué)生函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想以及運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力.第（2）小問(wèn)主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的問(wèn)題，考查學(xué)生對(duì)問(wèn)題的分類討論能力、邏輯推理能力以及數(shù)學(xué)建模能力.第（3）小問(wèn)主要考查通過(guò)函數(shù)導(dǎo)數(shù)解決不等式的基本方法，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的解決.本題充分體現(xiàn)了起點(diǎn)低，落點(diǎn)高，涉及知識(shí)點(diǎn)較多，有很強(qiáng)的綜合性和靈活性，具有一定的區(qū)分度，自主探索性強(qiáng)，是一道考查學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)和能力的優(yōu)質(zhì)題.

2 試題解法研究第（1）問(wèn)求導(dǎo)后容易判斷單調(diào)性，這里解答從略.下面對(duì)第（2）問(wèn)進(jìn)行研究，相關(guān)解法如下.

2.1 第（2）問(wèn)解析

思路1 對(duì)參數(shù)討論，轉(zhuǎn)化為恒成立.

解法1 若a≥1，由（1）知，當(dāng)a=1時(shí)，f（x）的最小值為f（0）=-1，即xex-ex≥-1，所以當(dāng)x>0時(shí)，f（x）≥-1，與題意矛盾;

評(píng)注 解法1是對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，進(jìn)而將所證明不等式轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，利用同構(gòu)結(jié)合函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行證明解決，其中對(duì)參數(shù)分類討論時(shí)節(jié)點(diǎn)的選取較為不易想到.

原不等式恒成立等價(jià)于y=ax的圖象位于y=g（x）的圖象下方，臨界情況為兩函數(shù)圖象相切，切點(diǎn)易知為x=0.由于g（x）在x=0處無(wú)定義，下面則對(duì)其導(dǎo)函數(shù)分析，

評(píng)注 解法2是將所給不等式合理變形轉(zhuǎn)化為f（x）>g（x）的形式，能夠較容易地判斷出不等號(hào)兩邊函數(shù)的圖象關(guān)系.難點(diǎn)在于對(duì)g（x）及其導(dǎo)數(shù)在x=0的討論，涉及到高等數(shù)學(xué)中的極限思想，較為復(fù)雜.

評(píng)注 兩種解法均為直接變形后移項(xiàng)構(gòu)造函數(shù)，但后續(xù)對(duì)于導(dǎo)數(shù)結(jié)合不等式的放縮的討論情況比較復(fù)雜，而對(duì)導(dǎo)函數(shù)求解零點(diǎn)的討論相對(duì)簡(jiǎn)單.相比于解法1，2，這兩種解法較為常規(guī)，同時(shí)也是構(gòu)造含參函數(shù)解決不等式恒成立問(wèn)題的一般思路.

2.2 第（3）問(wèn)解析

評(píng)注 此題的難點(diǎn)在于如何將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，第（3）問(wèn)可以在第（2）問(wèn)的基礎(chǔ)上對(duì)問(wèn)題進(jìn)行解決，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)相對(duì)應(yīng)的不等式，進(jìn)而對(duì)x取值，得到數(shù)列型不等式，也可以直接觀察所需證明的不等式與函數(shù)方程結(jié)合解決問(wèn)題.本題將函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列以及不等式等知識(shí)有機(jī)結(jié)合，考查學(xué)生靈活應(yīng)用函數(shù)、不等式思想解決復(fù)雜問(wèn)題的能力，對(duì)直觀想象和邏輯推理能力也有較高的要求.

對(duì)導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)要淡化技巧， 重視基礎(chǔ)， 回歸問(wèn)題的本質(zhì)，掌握基本數(shù)學(xué)思想，注重通解通法.作為一名教師，教學(xué)中要鞏固學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)，構(gòu)建完整的知識(shí)體系，幫助學(xué)生將知識(shí)整合并對(duì)其系統(tǒng)化.此外，教師在解題教學(xué)過(guò)程中應(yīng)當(dāng)把握教學(xué)目標(biāo)， 鞏固學(xué)生對(duì)自身知識(shí)的認(rèn)知， 堅(jiān)持問(wèn)題驅(qū)動(dòng)原則，引導(dǎo)學(xué)生思考問(wèn)題.充分利用數(shù)學(xué)思想進(jìn)行解題指導(dǎo)，多角度嘗試解決問(wèn)題，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]李浩賓，高軍.不等式恒成立問(wèn)題的解法探究——以2020年高考全國(guó)Ⅰ卷理科數(shù)學(xué)壓軸題為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2020（21）：9-11.

[2] 胡貴平.導(dǎo)數(shù)中的數(shù)列型不等式[J].數(shù)理化解題研究，2019（25）：2-5.

[責(zé)任編輯：李 璟]

收稿日期：2022-05-05

作者簡(jiǎn)介：廖梓豪，男，本科在讀，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.