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    變中不變 美在其中

    2022-05-30 15:24:13林琳琳
    關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)思想方法定點(diǎn)

    摘 要:圓錐曲線中的定點(diǎn)問題一直是高考中的熱點(diǎn)、難點(diǎn)問題.考生因不理解它的美——撲朔迷離的變化中存在的不變性,以致無法解決解析幾何問題.本文主要以2022年福建省省檢試題——圓錐曲線中動(dòng)圓過定點(diǎn)問題為例,對(duì)解題教學(xué)中如何有效解決問題進(jìn)行詳細(xì)闡述.

    關(guān)鍵詞:定點(diǎn);幾何條件;代數(shù)化;數(shù)學(xué)思想方法

    中圖分類號(hào):G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A 文章編號(hào):1008-0333(2022)22-0039-03

    正因?yàn)閳A錐曲線千變幻化,才能成就它的美,那美在哪里呢?美在撲朔迷離的變化中存在不變的性質(zhì),如定點(diǎn)、定值問題.

    1 題目呈現(xiàn)

    試題 (2022年福建省高三畢業(yè)班質(zhì)檢試題)已知橢圓C的中心為O,離心率為22.圓O在C的內(nèi)部,半徑為63.P,Q分別為C和圓O上的動(dòng)點(diǎn),且P,Q兩點(diǎn)的最小距離為1-63.

    (1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求C的方程;

    (2)A,B是C上不同的兩點(diǎn),且直線AB與以O(shè)A為直徑的圓的一個(gè)交點(diǎn)在圓O上.求證:以AB為直徑的圓過定點(diǎn).

    2 題源探析

    本題與2009年全國(guó)山東高考理科卷第22題如出一轍.

    設(shè)橢圓E:x2a2+y2b2=1a>b>0過M2,2,N6,1兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).

    (1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;

    (2)是否存在圓心為原點(diǎn)的圓,使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,且OA⊥OB?若存在,寫出該圓的方程,并求AB的取值范圍,若不存在,請(qǐng)說明理由.

    兩道試題的第(2)問有異曲同工之妙,都是與定圓相切的直線與圓錐曲線相交,涉及垂直條件的運(yùn)用與轉(zhuǎn)化,考查了特殊與一般思想的運(yùn)用.不同之處在于:高考題是已知OA⊥OB,考查能否找到一個(gè)圓心在原點(diǎn)的圓與直線AB相切,而省檢試題在于試題的結(jié)論變成條件,其條件變?yōu)槲覀円C明的結(jié)論.高考題的表征形式較為清晰明了,而省檢試題描述了點(diǎn)、線與圓的形態(tài)與變化過程,給學(xué)生的數(shù)學(xué)表征造成了一定的障礙.

    但在解題中會(huì)發(fā)現(xiàn)曲線的幾個(gè)要素在變化,雖有圓的半徑、直線方程中的斜率、截距等眾多的因素干擾,但解決問題的思路是一樣的,均考查了數(shù)學(xué)表征的能力和運(yùn)用特殊與一般思想解決問題的素養(yǎng).

    3 解法剖析

    第(1)問不難,如圖1建立平面直角坐標(biāo)系,易得C的方程為x22+y2=1.

    難在第(2)問,首先需對(duì)給定條件作幾何推演,找出幾何關(guān)系,再將幾何條件代數(shù)化予以求解.

    角度2 因?yàn)橹本€AB與以O(shè)A為直徑的圓的一個(gè)交點(diǎn)在圓O上,所以直線AB與圓O相切.利用特殊情況,當(dāng)直線AB垂直于x軸時(shí),不妨設(shè)直線為x=63,則得到A63,63,B63,-63.又因?yàn)橐訟B為直徑的圓過定點(diǎn),則所對(duì)應(yīng)的向量數(shù)量積為0.所以猜測(cè)點(diǎn)O即為所求的點(diǎn).驗(yàn)證斜率不存在的情況同法1.

    角度3 當(dāng)無法挖掘出以AB為直徑的圓過定點(diǎn)O,由于對(duì)稱性可知,經(jīng)過的定點(diǎn)一定在x軸上,設(shè)定點(diǎn)為N(t,0),驗(yàn)證NA·NB=(x1-t)(x2-t)+y1y2=0時(shí),t=0.則以AB為直徑的圓過點(diǎn)O.

    當(dāng)直線AB垂直于x軸,驗(yàn)證以AB為直徑的圓過點(diǎn)O.

    4 思想賞析

    以上六個(gè)角度將解析幾何研究的基本方法和基本思想體現(xiàn)得淋漓盡致,其基本思路:幾何條件→代數(shù)形式→代數(shù)結(jié)果→幾何條件,即:充分挖掘幾何條件,轉(zhuǎn)化代數(shù)形式,通過代數(shù)運(yùn)算得到代數(shù)結(jié)果,代數(shù)結(jié)果用幾何條件表達(dá).最主要就是要理解問題的實(shí)質(zhì),從而建立條件與結(jié)論之間的聯(lián)系.

    角度1到角度4立足于幾何條件“AB為直徑的圓過定點(diǎn)”充分轉(zhuǎn)化為定點(diǎn)與AB的數(shù)量積為0,利用特殊到一般、數(shù)形結(jié)合、方程思想解決問題.

    角度5到角度6立足于幾何條件“AB為直徑的圓過定點(diǎn)”充分轉(zhuǎn)化為將AB為直徑的圓方程寫出來,利用數(shù)形結(jié)合和方程思想得到過定點(diǎn).

    上述哪個(gè)角度比較好呢?顯然,“AB為直徑的圓過定點(diǎn)”充分轉(zhuǎn)化為“定點(diǎn)與AB的數(shù)量積為0”運(yùn)算更為簡(jiǎn)便.若通過對(duì)角度1到角度4對(duì)比,發(fā)現(xiàn):(1)如若學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合思想可以充分挖掘幾何條件:AB為直徑的圓過定點(diǎn)O;(2)學(xué)生利用特殊到一般思想引領(lǐng),則大大降低求解運(yùn)算.

    正因如此,破解解析幾何問題的基本思想是用代數(shù)手段來研究幾何問題,這里很自然需要我們充分挖掘幾何條件,將其代數(shù)化,同樣通過代數(shù)運(yùn)算得到的代數(shù)形式幾何化,進(jìn)而建立條件與結(jié)論之間的聯(lián)系,同時(shí)我們要樹立運(yùn)用思想引領(lǐng)解題意識(shí),運(yùn)算就會(huì)變得簡(jiǎn)單,解題就會(huì)揮灑自如.

    參考文獻(xiàn):

    [1]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2020年修訂版)[M]. 北京:人民教育出版社,2020.

    [2] 林新建.我的教學(xué)主張——自然數(shù)學(xué)[M]. 廈門:廈門大學(xué)出版社,2020.

    [責(zé)任編輯:李 璟]

    收稿日期:2022-05-05

    作者簡(jiǎn)介:林琳琳(1988.11-),女,福建省福清人,碩士,中學(xué)二級(jí)教師,從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

    基金項(xiàng)目:福建省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃2020年度立項(xiàng)課題“基于學(xué)科融合的高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)案例研究”(項(xiàng)目編號(hào):FJJKXB20—694);福清市教育科學(xué)研究 “十四五”規(guī)劃2021年度專項(xiàng)課題“‘四元五環(huán)教學(xué)在高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的實(shí)踐研究”(項(xiàng)目編號(hào):FQ2021ZX006).

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